《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

8.（2024·淄博高青县期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC = 10，BD = 24，则FG的长为（ ）

A. 5
B. 6.5
C. 10
D. 12

答案：
B
解析：
如图，连接OE.
∵四边形ABCD是菱形，AC = 10，BD = 24，
∴OA = OC = 5，OB = OD = 12，AC⊥BD.
在Rt△AOD中，AD = $\sqrt{AO^{2}+DO^{2}}$ = 13.
又
∵E是边AD的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×13 = 6.5.
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO = ∠EGO = ∠GOF = 90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG = OE = 6.5. 故选B.

9. 如图，在四边形ABCD中，∠A = 60°，∠ABC = ∠ADC = 90°，BC = 1，CD = 10，过D作DH⊥AB于点H，则DH的长是______.

答案： 6

10. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF = BE，连接DF，AF与DE交于点O.
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB = 3，OE = 2，BF = 5，求DF的长.

答案：
(1)证明：
∵BE = CF，
∴BE + CE = CF + CE，即BC = EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC，
∴AD = BC = EF.
又
∵AD//EF，
∴四边形AEFD为平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEF = 90°，
∴平行四边形AEFD为矩形.
(2)解：由
(1)知，四边形AEFD为矩形，
∴DF = AE，AF = DE = 2OE = 4.
∵AB = 3，AF = 4，BF = 5，
∴AB² + AF² = BF²，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF = 90°，
∴S_△ABF = $\frac{1}{2}$AB·AF = $\frac{1}{2}$BF·AE，
∴AB·AF = BF·AE，即3×4 = 5AE，
∴AE = $\frac{12}{5}$，
∴DF = AE = $\frac{12}{5}$.

11. 如图，在△ABC中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，点P在AB上（不与点A，B重合），过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点.
（1）请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
（2）随着点P在边AB上位置的改变，CM的长度是否会改变？若不变，求CM的长度；若有变化，求CM的范围范围.

答案：
解：
(1)四边形PECF是矩形.
理由：在△ABC中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，
∴AC² + BC² = 3² + 4² = 5² = AB²，
∴∠ACB = 90°.
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC = ∠ACB = ∠CFP = 90°，
∴四边形PECF是矩形.
(2)CM的长度会改变.
如图，连接PM. 由
(1)知，四边形PECF是矩形，则M为PC的中点，
∴CM = $\frac{1}{2}$PC.
过点C作CD⊥AB于点D，
∴CD = $\frac{AC·BC}{AB}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4.
∵点P在斜边AB上(不与A，B重合)，
∴CD≤PC＜BC.
∴PC的变化范围是2.4≤PC＜4.
∴CM的变化范围是1.2≤CM＜2.