《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

8. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成. 用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为________.

答案： $\frac{1}{8}$

9. 如图，四边形ABCD是菱形，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若∠ABC = 60°，AB = 2，求矩形OCED的周长；
（3）当∠ABC = ________时，四边形OCED是正方形.

答案：
(1) 证明：
∵DE//AC，CE//BD，即DE//OC，CE//OD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC = 90°，
∴平行四边形OCED是矩形.
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB = BC，
∴∠AOB = 90°，∠ABO = ∠CBO = $\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC = 60°，
∴∠ABO = 30°.
∵AB = 2，
∴AO = $\frac{1}{2}$AB = 1，OB = $\sqrt{3}$.
∵OD = OB = $\sqrt{3}$，OC = OA = 1，
∴C矩形OCED = 2(OD + OC) = 2$\sqrt{3}$ + 2.
(3) 90°

10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA = OD；②AD⊥EF；③当∠A = 90°时，四边形AEDF是正方形；④AE + DF = AF + DE. 其中正确的是（ ）

A. ②③
B. ②④
C. ①③④
D. ②③④

答案： D

11. 如图，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个菱形ABCD，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ）

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

答案： D

12. 某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得AB = BC，∠B = ∠D = 90°，若点B到CD的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为________平方米.

答案：
16
解析：
如图，过点B作BE⊥CD于点E，则BE = 4米，∠BEC = ∠BED = 90°，
过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于点F，则∠F = 90°，
∴∠F = ∠BEC.
∵∠F = ∠D = ∠BED = 90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF = 90°，即∠FBA + ∠ABE = 90°.
∵∠CBE + ∠ABE = ∠ABC = 90°，
∴∠FBA = ∠EBC.
在△ABF和△CBE中，$\begin{cases}∠F = ∠BEC \\∠ABF = ∠CBE \\AB = CB\end{cases}$，
∴△ABF≌△CBE(AAS)，
∴BF = BE = 4米，
∴矩形BEDF是正方形，S正方形BEDF = BE² = 4² = 16(平方米).
∵△ABF≌△CBE，
∴S四边形ABCD = S四边形ABED + S△BCE = S四边形ABED + S△ABF = S正方形BEDF = 16(平方米).

13. 如图，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F，猜测PC和PE的数量及位置关系，并给出证明.

答案： 解：PC = PE，PC⊥PE.
证明：由正方形的轴对称性质，可得∠PAD = ∠PCD，PA = PC.
∵点P位于AE的垂直平分线上，
∴PA = PE，
∴PC = PE.
∵PA = PE，
∴∠PAD = ∠E，
∴∠PCD = ∠E.
∵∠PFC = ∠DFE，
∴∠CPF = ∠FDE.
∵∠ADC = 90°，
∴∠FDE = 90°，
∴∠CPF = 90°，
∴PC⊥PE.