《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

6. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，$AB = 2$，$BC = 3$，求图中阴影部分的面积.

答案： 解：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore OA = OC,\angle AEO=\angle CFO$。
又$\because\angle AOE=\angle COF$，
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\begin{cases}\angle AEO=\angle CFO\\\angle AOE=\angle COF\\OA = OC\end{cases}$，
$\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF(AAS)$，
$\therefore S_{\triangle AOE}=S_{\triangle COF}$，
$\therefore$图中阴影部分的面积就是$\triangle BCD$的面积，
$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\times CD=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
故图中阴影部分的面积为$3$。

7. 如图，$AB = AC$，$AE = AF$，且$\angle EAB = \angle FAC$，$EF = BC$.
(1) 求证：四边形EBCF是矩形；
(2) 设$\triangle ABE$的面积为$S_1$，$\triangle ACF$的面积为$S_2$，矩形EBCF的面积为$S_3$，则$S_1$，$S_2$，$S_3$的等量关系为______.

答案：
(1)证明：$\because AB = AC,AE = AF$，且$\angle EAB=\angle FAC$，
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle ACF(SAS)$，
$\therefore BE = CF,\angle AEB=\angle AFC$。
又$\because EF = BC$，
$\therefore$四边形$EBCF$为平行四边形，
$\therefore BE// CF$。
$\because AE = AF$，
$\therefore\angle AEF=\angle AFE$，
$\therefore\angle AEB-\angle AEF=\angle AFC-\angle AFE$，
即$\angle BEF=\angle CFE$。
$\because BE// CF$，
$\therefore\angle BEF+\angle CFE = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle BEF=\angle CFE = 90^{\circ}$，
$\therefore$平行四边形$EBCF$为矩形。
(2)解：过点$A$作$AH\perp BE$交$BE$的延长线于$H$，$HA$的延长线交$CF$的延长线于$K$，如图所示。
易证得四边形$KHEF$、$BCKH$均为矩形，
$\therefore AK\perp CK.BC = KH$。
$\because S_{1}=S_{\triangle AEB}=\frac{1}{2}AH\cdot BE,S_{2}=S_{\triangle AFC}=\frac{1}{2}AK\cdot FC$，$S_{3}=BC\cdot BE,BE = CF$，
$\therefore S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}AH\cdot BE+\frac{1}{2}AK\cdot FC=\frac{1}{2}(AH + AK)\cdot BE=\frac{1}{2}HK\cdot BE=\frac{1}{2}BC\cdot BE=\frac{1}{2}S_{3}$，
即$S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}S_{3}$。
答案：$S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2}S_{3}$

8. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，点D是斜边AB的中点，DE平分$\angle ADC$，$BC = 4$，则DE的长是（ ）

A. 8
B. 5
C. 3
D. 2

答案： D

9.（2024·滨州模拟）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，$\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}$，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，若$DE = 2\sqrt{3}$，则$FG =$______.

答案： $2\sqrt{3}$ 解析：$\because\angle ADB = 90^{\circ}$，点$E$为$AB$的中点，$DE = 2\sqrt{3}$，
$\therefore AB = 2DE = 4\sqrt{3}$。
$\because F,G$分别为$AC,BC$的中点，$\therefore FG=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{3}$。

10. 如图，已知平行四边形ABCD，$\angle ABC$，$\angle BCD$的平分线BE，CF分别交AD于E，F，BE，CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M.
(1) 证明：$\angle BGC = 90^{\circ}$；
(2) 连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由.

答案：
(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
$\because BE,CF$分别平分$\angle ABC,\angle BCD$，
$\therefore\angle ABE=\angle CBE=\frac{1}{2}\angle ABC$，
$\angle BCF=\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD$，
$\therefore\angle GBC+\angle GCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BCD)=90^{\circ}$，
$\therefore\angle BGC = 90^{\circ}$。
(2)解：四边形$GBMC$是矩形，理由如下：
$\because$点$H$为$BC$的中点，$\angle BGC = 90^{\circ}$，
$\therefore BH = CH = GH$，
$\therefore\angle HBG=\angle HGB$。
$\because GB// CM$，
$\therefore\angle BGH=\angle CMH,\angle HBG=\angle HCM$，
$\therefore\angle HCM=\angle HMC$，
$\therefore MH = BH = CH = GH$，
$\therefore$四边形$GBMC$为矩形。