《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

5. 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠BAC = α，点P为△ABC内部一点，且∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$α.
(1)如图1，若α = 60°，延长BP交AC于点D，求证：DC² = DP·DB；
(2)如图2，过点P作EF//BC交AB，AC于E，F两点，求证：BE² = PE·PF；
(3)如图3，连接AP并延长交BC于点G，若$\frac{BP}{CP}=n$，直接写出$\frac{BG}{CG}$的值.

答案：

(1)证明:
∵AB=AC,∠BAC=α=60°,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$α=120°,
∴∠DPC=60°,
∴∠DPC=∠DCB.
∵∠CDP=∠BDC,
∴△PDC∽△CDB,
∴$\frac{DC}{DB}$=$\frac{DP}{DC}$
∴DC²=DP.DB.
(2)证明:
∵EF//BC,
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{CF}{C}$
∵AB=AC,.BE=CF,
∴AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE=90°−$\frac{1}{2}$α,
∴∠BEP=∠CFP=90°+$\frac{1}{2}$α,
∴∠BPC=∠PFC,
∴∠BPE=∠FCP,
∴△PEB∽△CFP,
∴$\frac{PE}{CF}$=$\frac{BE}{FP}$,
∴BE²=PE.PF.
(3)解:$\frac{BG}{CG}$=n².解答过程如下:
　如图，过点P作EF//BC,交AB于点E,交AC于点F.H
∵EF//BC,
∴$\frac{EP}{BG}$=$\frac{AP}{AG}$,$\frac{AP}{AG}$=$\frac{PF}{CG}$,
　
∴$\frac{EP}{BG}$=$\frac{PF}{CG}$
∴$\frac{BG}{CG}$$\frac{EP}{PF}$.
　由
(2)知,△PEB∽△CFP,
∴$\frac{PE}{CF}$=$\frac{BE}{FP}$$\frac{BP}{CP}$=n,
　设PF=x,则CF=BE=nr,
∴EP=n²x,
∴$\frac{BG}{CG}$=$\frac{PE}{PF}$=n².