《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

12. 如图，在菱形ABCD中，AB = 5 cm，∠ADC = 120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向，向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t s △DEF为等边三角形，则t的值为（ ）

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{5}{3}$

答案：
D 解析：连接 BD，

∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD，∠ADB = $\frac{1}{2}$∠ADC = 60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AD = BD。
又
∵△DEF 是等边三角形，
∴∠EDF = ∠DEF = 60°，DE = DF。
又
∵∠ADB = 60°，
∴∠ADE = ∠BDF。
在△ADE 和△BDF 中，
$\begin{cases}DE = DF \\\angle ADE = \angle BDF \\AD = BD\end{cases}$
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴AE = BF。
∵AE = t，CF = 2t，
∴BF = BC - CF = 5 - 2t，
∴t = 5 - 2t，
∴t = $\frac{5}{3}$。故选 D。

13. 已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________。

答案：
(3，4)或(2，4)或(8，4) 解析：
∵D 是 OA 的中点，
∴OD = AD = $\frac{1}{2}$OA = 5。
(1)当 OP = OD = 5 时，
∵CO = 4，
∴CP = $\sqrt{OP^{2}-OC^{2}}$ = 3，
∴P(3，4)。
(2)如图，当 OD = PD = 5 时，
过点 D 作 DN⊥BC 于点 N，则四边形 OCND 为矩形，

DN = OC = 4，DO = NC = 5，
∴PN = $\sqrt{DP^{2}-DN^{2}}$ = 3，
从而 CP = CN - PN = 5 - 3 = 2 或 CP′ = CN + P′N = 5 + 3 = 8，
∴P(2，4)或(8，4)。
(3)当 OP = PD 时，P($\frac{5}{2}$，4)，
此时腰长为$\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}+4^{2}}$ ≠ 5，故这种情况不合题意，舍去。
故点 P 的坐标为(3，4)或(2，4)或(8，4)。

14. 如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F。
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论；
(2)如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？证明你的猜想。

答案： 解：
(1)当 AD = 2AB 时，四边形 PEMF 为矩形。
证明：
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠A = ∠D = 90°。
∵点 M 是边 AD 的中点，
∴AM = DM = $\frac{1}{2}$AD。
∵AD = 2AB = 2CD，
∴AB = AM = DM = CD，
∴∠ABM = ∠AMB = 45°，∠DCM = ∠DMC = 45°，
∴∠BMC = 180° - 45° - 45° = 90°。
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP = ∠PFM = 90°，
∴四边形 PEMF 为矩形，
即当 AD = 2AB 时，四边形 PEMF 为矩形。
(2)当 P 是 BC 的中点时，矩形 PEMF 变为正方形。
证明：
∵四边形 PEMF 为矩形，
∴∠PFM = ∠PFB = ∠PEC = 90°。
由
(1)知∠FBP = ∠ECP = 45°。
在△BFP 和△CEP 中，
$\begin{cases}\angle FBP = \angle ECP \\\angle PFB = \angle PEC \\BP = CP\end{cases}$
∴△BFP≌△CEP(AAS)，
∴PF = PE。
又
∵四边形 PEMF 是矩形，
∴矩形 PEMF 是正方形，
即当 P 是 BC 的中点时，矩形 PEMF 为正方形。

15. [教材P29复习题T13变式]如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A = 90°，AB = 12，BC = 20，AD = 16. 动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为t秒。
(1)设△DPQ的面积为S，用含t的式子表示S；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
(3)当t为何值时，PQ = PD？

答案：
解：
(1)由题意，得 AQ = t，则 DQ = 16 - t，
∵AD//BC，AB = 12，
∴△DPQ 的面积为 S = $\frac{1}{2}$(16 - t)×12 = - 6t + 96(0＜t≤10)。
(2)
∵AD//BC，
∴当 DQ = PC 时，四边形 PCDQ 是平行四边形。
∵BP = 2t，
∴PC = 20 - 2t，
∴16 - t = 20 - 2t，解得 t = 4，
∴当 t = 4 时，四边形 PCDQ 是平行四边形。
(3)如图，过点 P 作 PH⊥AD 于 H，
则四边形 ABPH 为矩形，

∴AH = BP = 2t。
当 PQ = PD 时，
∵PH⊥AD，
∴QH = HD = $\frac{1}{2}$(16 - t)，
∴t + $\frac{1}{2}$(16 - t) = 2t，解得 t = $\frac{16}{3}$，
∴当 t = $\frac{16}{3}$时，PQ = PD。