《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

14. 若$x$，$y$为实数，且$y = \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+2025$，则$xy =$________．

答案： 2 025

15. 当$x$分别取下列值时，求二次根式$\sqrt{5 + 2x}$的值.
(1)$x = 0$；(2)$x = 2$；(3)$x = -\frac{1}{2}$．

答案： 解：
(1)把$x = 0$代入二次根式，得$\sqrt{5 + 2x}=\sqrt{5 + 0}=\sqrt{5}$.
(2)把$x = 2$代入二次根式，得$\sqrt{5 + 2x}=\sqrt{5 + 2\times2}=\sqrt{9}=3$.
(3)把$x = -\frac{1}{2}$代入二次根式，得$\sqrt{5 + 2x}=\sqrt{5 + 2\times(-\frac{1}{2})}=\sqrt{4}=2$.

16. 已知二次根式$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}$．
(1)求$x$的取值范围；
(2)求当$x = -2$时，二次根式$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}$的值；
(3)若二次根式$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}$的值为零，求$x$的值.

答案： 解：
(1)根据题意，得$3-\frac{1}{2}x\geqslant0$，解得$x\leqslant6$.
(2)当$x = - 2$时，$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}=\sqrt{3-\frac{1}{2}\times(-2)}=\sqrt{3 + 1}=2$.
(3)$\because$二次根式$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}$的值为零，
$\therefore3-\frac{1}{2}x = 0$，解得$x = 6$.

17. [新定义]任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数$T$：$m\lt T\lt n$（其中$m$为满足不等式的最大整数，$n$为满足不等式的最小整数），则称无理数$T$的“行知区间”为$(m,n)$，如$1\lt\sqrt{2}\lt2$，所以$\sqrt{2}$的行知区间为$(1,2)$．
(1)无理数$\sqrt{19}$的“行知区间”是________；
(2)若$a = \sqrt{b - 3}+\sqrt{3 - b}-\sqrt{7}$，求$a$的“行知区间”；
(3）实数$x$，$y$，$n$满足$\sqrt{2x + 3y - n}+\sqrt{3x + 4y - 2n}=\sqrt{x + y - 41}+\sqrt{41 - x - y}$，求$n$的平方根平方根的“行知区间”．

答案： 解：
(1)$\because\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，
$\therefore4＜\sqrt{19}＜5$，
即无理数$\sqrt{19}$的“行知区间”是$(4,5)$.
答案：$(4,5)$
(2)$\because a=\sqrt{b - 3}+\sqrt{3 - b}-\sqrt{7}$，
$\therefore b - 3\geqslant0$，$3 - b\geqslant0$，
$\therefore b = 3$，
$\therefore a = -\sqrt{7}$.
$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，
$\therefore2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore - 3＜-\sqrt{7}＜-2$，
$\therefore a$的“行知区间”为$(-3,-2)$.
(3)$\because\sqrt{2x + 3y - n}+\sqrt{3x + 4y - 2n}=\sqrt{x + y - 41}+\sqrt{41 - x - y}$，
$\therefore x + y - 41\geqslant0$，$41 - x - y\geqslant0$，
$\therefore x + y = 41$，
$\therefore\sqrt{2x + 3y - n}+\sqrt{3x + 4y - 2n}=0$，
$\therefore2x + 3y - n = 0$，$3x + 4y - 2n = 0$，
联立$\begin{cases}x + y = 41\\2x + 3y - n = 0\\3x + 4y - 2n = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 82\\y = - 41\\n = 41\end{cases}$，
$\therefore n$的算术平方根为$\sqrt{41}$.
$\because\sqrt{36}＜\sqrt{41}＜\sqrt{49}$，
$\therefore6＜\sqrt{41}＜7$，
$\therefore n$的算术平方根的“行知区间”为$(6,7)$.