《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

12.（2024·临沂郯城县模拟）若$m,n$是方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的两个实数根，则$\frac{2}{m}+n^{2}-3=$________.

答案： 12.−2　解析:
∵m,n是方程x²−2x−1=0的两个实数根，
∴m²−2m−1=0,n²−2n−1=0,m+n=2,mn=−1,
∴m−2=$\frac{1}{m}$,n²=2n+1,
　
∴2m−4=2,
　　　　　　m
　
∴$\frac{2}{m}$+n²−3=2m−4+2n+1−3=2(m+n)−6=2×2−6=−2.

13. 已知关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+3x + 1 = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）是否存在实数$k$，使该方程的两个实数根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}+x_{2}=5 - 2x_{1}x_{2}$，若存在，请求出$k$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 13.解:
(1)
∵关于x的一元二次方程(k−1)x²+3x+1=0有两个不相等的实数根，
　
∴△＞0,且k−1≠0,
　
∴{k9−−41(≠k0−,1)＞0,解得k＜$\frac{13}{4}$且k≠1.
(2)存在实数k,使该方程的两个实数根x1,，x2满足x1+x2=5−2×1×2.
　　若x1,x2是(k−1)x²+3x+1=0的两个实数根,则x1+x2=−$\frac{3}{k−1}$,x1.x2=$\frac{1}{k−1}$.
　
∵x1+x2=5−2×1×2,
　
∴−$\frac{3}{k−1}$=5−$\frac{2}{k−1}$,解得k=$\frac{4}{5}$.
　
∵$\frac{4}{5}$＜$\frac{13}{4}$,
　
∴k=$\frac{4}{5}$时,(k−1)x²+3x+1=0有两个实数根，
∴存在实数k=$\frac{4}{5}$,使该方程的两个实数根x1,x2满足x1+x2=5−2×1×2.

14.［运算能力］先阅读下面材料，再解方程.
例：解方程$x^{2}-\vert x\vert - 6 = 0$.
解：当$x\geq0$时，原方程化为$x^{2}-x - 6 = 0$，解得$x_{1}=3,x_{2}=-2$（不合题意，舍去）；
当$x\lt0$时，原方程化为$x^{2}+x - 6 = 0$，解得$x_{1}=-3,x_{2}=2$（不合题意，舍去），
因此，原方程的根是$x_{1}=3,x_{2}=-3$.
（1）请参照例题解方程：$x^{2}-\vert x - 1\vert - 3 = 0$；
（2）拓展应用：已知实数$m,n$满足$m^{2}-7m + 2 = 0,n^{2}-7n + 2 = 0$，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.

答案： 14.解:
(1)当x≥1时,原方程化为x²−x−2=0,解得x1=
　2,x2=−1(不合题意，舍去);
　当x＜1时,原方程化为x²+x−4=0,解得x=
　$\frac{−1−\sqrt{17}}{2}$,x2=$\frac{−1+\sqrt{17}}{2}$(不合题意，舍去).
　因此原方程的根是x1=2,x2=$\frac{−1−\sqrt{17}}{2}$.
(2)①当m=n时,$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=2;
　②当m≠n时，由题意，知m,n是方程x²−7x+2=0的两个根，
∴m+n=7,mH=2,
∴"+$\frac{m}{n}$$\frac{(m+n)²−2mn}{77272}$=$\frac{49−4}{2}$=$\frac{45}{2}$.
∴$\frac{n}{m}$　$\frac{772}{n}$的值为2或$\frac{45}{2}$1