《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

12.若$a$为方程$(x-\sqrt{13})^{2}=16$的正根，$b$为方程$y^{2}-2y + 1 = 13$的负根，求$a + b$的值.

答案： 解：$\because$方程$(x-\sqrt{13})^{2}=16$的解为$x=\sqrt{13}\pm4$，
且$\sqrt{13}+4＞0,\sqrt{13}-4＜0$，
$\therefore a=\sqrt{13}+4$.
$\because$方程$y^{2}-2y + 1 = 13$，
即$(y - 1)^{2}=13$的解为$y = 1\pm\sqrt{13}$，
且$1+\sqrt{13}＞0,1-\sqrt{13}＜0$，
$\therefore b = 1-\sqrt{13}$，
$\therefore a + b=\sqrt{13}+4+1-\sqrt{13}=5$.

13.如图，某农场有一块长40 m、宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m²，求小路的宽.

答案： 解：设小路的宽为$x$m.
依题意，得$(40 - x)(32 - x)=1140$，
整理，得$x^{2}-72x + 140 = 0$，
解得$x_{1}=2,x_{2}=70$(不合题意，舍去).
故小路的宽为2 m.

14.（2024·淄博张店区校级月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于$x$的多项式$x^{2}-2x + 3$，由于$x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$，所以当$x - 1$取任意一对互为相反数的数时，多项式$x^{2}-2x + 3$的值是相等的，例如，当$x - 1=\pm1$，即$x = 2$或0时，$x^{2}-2x + 3$的值均为3；当$x - 1=\pm2$，即$x = 3$或$-1$时，$x^{2}-2x + 3$的值均为6.
于是小明给出一个定义：对于关于$x$的多项式，若当$x - t$取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于$x = t$对称.例如$x^{2}-2x + 3$关于$x = 1$对称.
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式$x^{2}+4x + 5$关于$x =$________对称；若关于$x$的多项式$x^{2}-2bx + 3$关于$x = - 4$对称，则$b =$________；
（2）关于$x$的多项式$x^{2}+ax + c$关于$x = - 1$对称，且当$x = a$时，多项式的值为5，求$x = 4$时，多项式$x^{2}+ax + c - 4$的值.

答案： 解：
(1)$\because x^{2}+4x + 5=(x + 2)^{2}+1$，
$\therefore$该多项式关于$x=-2$对称；
$\because$关于$x$的多项式$x^{2}-2bx + 3=(x - b)^{2}-b^{2}+3$关于$x=-4$对称，$\therefore b=-4$.
答案：-2 -4
(2)$\because x^{2}+ax + c=(x+\frac{a}{2})^{2}+c-\frac{a^{2}}{4}$，且该多项式关于$x=-1$对称，
$\therefore\frac{a}{2}=1$，$\therefore a = 2$.
$\because$当$x = a$时，多项式的值为5，
$\therefore2^{2}+2×2 + c = 5$，$\therefore c=-3$，
$\therefore x = 4$时，$x^{2}+ax + c-4=4^{2}+2×4-3-4 = 17$ 。