《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

9. (2024·菏泽鄄城县模拟)如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，CE⊥AD，且CE = BC，连接BE，则∠ABE =（ ）
A. 45° B. 50° C. 35° D. 15°
[img id=第9题图]

答案： D 解析：在菱形$ABCD$中，
∵$BC// AD$，
∴$\angle BAD+\angle ABC = 180^{\circ}$，且$\angle BAD = 120^{\circ}$，
∴$\angle ABC = 60^{\circ}$.
又
∵$CE\perp AD$，且$BC// AD$，
∴$CE\perp BC$，可得$\angle BCE = 90^{\circ}$.
又
∵$CE = BC$，
∴$\triangle BCE$为等腰直角三角形，$\angle CBE = 45^{\circ}$，
∴$\angle ABE = \angle ABC-\angle CBE = 60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$.
故选D.

10. 如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠C = 90°，AB = AD，连接BD，作∠BAD的平分线AE交BD，BC于点F，E. 若EC = 3，CD = 4，那么AE的长为______．

答案： $2\sqrt{5}$

11. (聊城中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO = CO，点E在BD上，满足∠EAO = ∠DCO.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB = BC，CD = 5，AC = 8，求四边形AECD的面积.
[img id=第11题图]

答案：
(1)证明：在$\triangle AOE$和$\triangle COD$中，$\begin{cases}\angle EAO=\angle DCO,\\AO = CO,\\\angle AOE=\angle COD\end{cases}$
∴$\triangle AOE\cong\triangle COD(ASA)$，
∴$OD = OE$.
又
∵$AO = CO$，
∴四边形$AECD$是平行四边形.
(2)解：
∵$AB = BC$，$AO = CO$，
∴$BO$为$AC$的垂直平分线，$BO\perp AC$，
∴平行四边形$AECD$是菱形.
∵$AC = 8$，
∴$CO=\frac{1}{2}AC = 4$.
在$Rt\triangle COD$中，$CD = 5$，
∴$OD=\sqrt{CD^{2}-CO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴$DE = 2OD = 6$，
∴$S_{菱形AECD}=\frac{1}{2}DE\cdot AC=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24$，
∴四边形$AECD$的面积为$24$.

12. 如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD，CB于点E，F，连接AF，CE. 求证：四边形AFCE是菱形.
[img id=第12题图]

答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\angle EAO=\angle FCO$.
∵$AC$的中点是$O$，
∴$OA = OC$.
在$\triangle EOA$和$\triangle FOC$中，$\begin{cases}\angle AOE=\angle COF,\\AO = CO,\\\angle EAO=\angle FCO\end{cases}$
∴$\triangle EOA\cong\triangle FOC(ASA)$，
∴$OE = OF$.
∴四边形$AFCE$是平行四边形.
∵$EF\perp AC$，
∴四边形$AFCE$是菱形.

13. [推理能力][教材P11习题6.3T4变式]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，BD = AC.
（1）求证：AD = BC；
（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分.

答案： 证明：
(1)如图1，过点$B$作$BM// AC$交$DC$的延长线于点$M$，则$\angle ACD=\angle M$.
∵$AB// CD$，
∴四边形$ABMC$为平行四边形，
∴$AC = BM$.
又
∵$AC = BD$，
∴$BD = BM$，
∴$\angle M=\angle BDC$，
∴$\angle ACD=\angle BDC$.
又
∵$CD = DC$，$AC = BD$，
∴$\triangle ACD\cong\triangle BDC(SAS)$，
∴$AD = BC$.
(2)如图2，连接$EH$，$HF$，$FG$，$GE$.
∵$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$CD$，$AC$，$BD$的中点，
∴$HE// AD$，且$HE=\frac{1}{2}AD$，$FG// AD$，
且$FG=\frac{1}{2}AD$，$EG=\frac{1}{2}BC$，
∴$HE// FG$，$HE = FG$.
∴四边形$HFGE$为平行四边形.
由
(1)知$AD = BC$，
∴$HE = EG$，
∴$\square HFGE$为菱形，
∴线段$EF$与线段$GH$互相平分平分.