《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

1. 如图，点D在△ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE = ∠B，点F在AD上，且AD² = AF·AB.
求证：(1)$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；
(2)△AEF∽△ACD.

答案： 证明:
(1)
∵∠ADE=∠B,
∴DE//BC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$.
(2)
∵AD²=AF.AB,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$
　由
(1),得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$,
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$.
∵∠A=∠A,
∴△AEF∽△ACD.

2. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别相交于点M，N，R，S和P. 求证：PM·PN = PR·PS.

答案： 证明:
∵直线L//BD,
∴$\frac{PN}{OD}$=$\frac{CP}{CO}$=$\frac{PR}{OB}$,得$\frac{PN}{PR}$-$\frac{OD}{OB}$①,
　$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AP}{AO}$=$\frac{PS}{OD}$,得$\frac{PS}{PM}$=$\frac{OD}{OB}$②,
　由①②,得$\frac{PN}{PR}$=$\frac{PS}{PM}$,即PM.PN=PR.PS.

3. 如图1，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F.
(1)求证：PE·PF = PC²；
(2)如图2，连接AC交BD于点O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD,∠CDP=∠ADP,CD//AB.
CD=AD,　　　　　　　　　
　在△CDP和△ADP中，{∠CDP=∠ADP,
DP=DP,
∴△CDP≌△ADP(SAS),
∴PC=PA,∠DCP=∠DAP.
∵CD//AB,
∴∠DCP=∠F,
∴∠DAP=∠F.
∵∠APE=∠FPA,
∴△PAE∽△PFA,
∴$\frac{PA}{PF}$=$\frac{PE}{AP}$,
∴PA²=PE.PF,　　　　　　　　　
∴PE.PF=PC².
(2)
∵CE⊥BC,
∴∠ECB=90°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,AD//BC,
　∠COP=90°,∠AEC=180°−∠BCE=180°−90°=90°,
∴∠COP=∠CEA.
∵∠OCP=∠ECA,
∴△POC∽△AEC.

4. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q在CD的延长线上，H在CB的延长线上，∠HCQ绕点C逆时针旋转∠HCH′＜45°，得到∠H′CQ′，交AB于点E，交AD的延长线于点N，交BD于点F，NE与BD的交点为M，连接CM. 当BE = 2时.
(1)求ND的长；
(2)求证：CF·EF = MF·BF；
(3)求CM的长.

答案：
(1)解:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CDG=90°,BC=CD,
∵∠HCQ绕点C逆时针旋转∠HCH'＜45°,得到H'CQy，
∴∠BCE=∠DCN,
∴△BCE≌△DCN(ASA),
∴DN=BE=2.
(2)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠QCH=∠DCB=90°,∠CBD=∠ABD=45°,
　由
(1)△BCE≌DCN,得CE=CN.
　由旋转,得∠NCE=∠QCH=90°,
∴△CNE是等腰直角三角形，
∴∠CEN=45°,
∴∠CEN=∠CBD.
∵∠CFB=AFE,
∴△BCF∽△EMF,
∴$\frac{CF}{MF}$=$\frac{BF}{EF}$
∴CF.EF=MF.BF.
(3)解:
∵$\frac{CF}{MF}$=$\frac{BF}{EF}$,∠CFM=∠BFE,
∴△CFM△BFE,,,　　　E=　　　E=45°.
∵△CNE是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$NE.
　在Rt△ANE中,
∵AN=ND+AD=2+6=8,AE=
AB−BE=6−2=4,
∴由勾股定理，得
　NE=　$\sqrt{AN²+AE²}$=　$\sqrt{8²+4²}$=4$\sqrt{5}$,
∴CM=$\frac{1}{2}$×4√5=2√5.