《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

7. 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线。将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到矩形GBEF位置，H是EG的中点。若AB = 6，BC = 8，则线段CH的长为________。

答案： $\sqrt{41}$

8. 在菱形ABCD中，∠ADC = 60°，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到DG，连接EC，AG。
(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部时，判断AG与CE的数量关系，并写出证明；
(2)如图2，当点B，D，G在同一条直线上时，若AD = 3，DG = 2$\sqrt{3}$，求CE的长。

答案：
解：
(1)AG = CE。
证明：由题意，可得∠GDE = 60°，GD = DE。
∵∠ADC = 60°，
∴∠ADG = ∠CDE。
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD = CD，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG = CE。
(2)如图，过点 G 作 GH⊥AD，交 AD 的延长线于 H，连接 BD。

∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC = 60°，
∴∠ADB = $\frac{1}{2}$∠ADC = 30°，
∴∠GDH = ∠ADB = 30°。
在 Rt△DHG 中，DG = 2$\sqrt{3}$，
∴GH = $\frac{1}{2}$DG = $\sqrt{3}$，
∴DH = $\sqrt{DG^{2}-GH^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ = 3，
∴AH = AD + DH = 6。
在 Rt△AHG 中，
AG = $\sqrt{AH^{2}+HG^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$ = $\sqrt{39}$，
由
(1)知 CE = AG = $\sqrt{39}$。

9. 已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF = 45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。
(1)在图1中，连接EF，为了证明结论“EF = BE + DF”，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
(2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF，BE之间有怎样的数量关系？

答案：

(1)证明：由旋转可得 GB = DF，AF = AG，∠BAG = ∠DAF。
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAD = 90°。
∵∠EAF = 45°，
∴∠BAE + ∠DAF = 45°，
∴∠BAG + ∠BAE = 45° = ∠EAF。
在△AGE 和△AFE 中，
$\begin{cases}AG = AF \\\angle GAE = \angle FAE \\AE = AE\end{cases}$
∴△AGE≌△AFE(SAS)，
∴GE = EF。
∵GE = GB + BE = DF + BE，
∴EF = BE + DF。
(2)解：EF = DF - BE，
理由：如图，把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°到△ADG，交 CD 于点 G，

同
(1)可证得△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF = GF 且 DG = BE，
∴EF = DF - DG = DF - BE。

10. 如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AD = 4，F是AB的中点。过点F作FE⊥AD，垂足为E。将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A'E'F'。设P，P'分别是EF，E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为（ ）

A. 6$\sqrt{3}$
B. 7$\sqrt{3}$
C. $\frac{31\sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{51\sqrt{3}}{4}$-8

答案：
B 解析：如图，连接 BD，DF，DF 交 PP′于 H，

由题意 PP′ = AA′ = AB = CD，PP′//AA′//CD，
∴四边形 PP′CD 是平行四边形。
∵四边形 ABCD 是菱形，∠A = 60°，
∴△ABD 是等边三角形。
∵AF = FB = 2，
∴DF⊥AB，DF⊥PP′，DF = $\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}-2^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$，
∴∠AFE = ∠FPH = 30°，
∴AE = $\frac{1}{2}$AF = 1，
∴EF = $\sqrt{AF^{2}-AE^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$。
∵P 是 EF 的中点，
∴PF = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴HF = $\frac{1}{2}$PF = $\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴DH = DF - HF = 2$\sqrt{3}$ - $\frac{\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
平行四边形 PP′CD 的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$×4 = 7$\sqrt{3}$。
故选 B。

11. 如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为8 cm的等边三角形，且点B，E，C，F在同一直线上，连接AE，DC。
(1)求证：四边形AEDC是平行四边形；
(2)若△ABC沿着BF的方向匀速运动，△DEF不动，当△ABC运动到点B与点F重合时，四边形AEDC是什么特殊的四边形？说明理由。

答案：
(1)证明：
∵△ABC 与△DEF 是边长为 8 cm 的等边三角形，
∴DE = AC，∠ACE = ∠DEC = 60°。
∵∠ACE = ∠DEC，
∴DE//AC，
∴四边形 AEDC 是平行四边形。
(2)解：四边形 AEDC 是矩形，理由如下：
∵点 B 与点 F 重合，此时 A，D，F 在同一直线上，
∴EF = CF = 8，AF = DF = 8.
∴AD = CE = 16。
由
(1)可知四边形 AEDC 是平行四边形，
∴四边形 AEDC 是矩形。