《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C的坐标分别为（-6，0），（4，0），则点D的坐标是（ ）

A.（6，8）
B.（10，8）
C.（10，6）
D.（4，6）

答案： B

10. 如图，在菱形ABCD中，AB = 1，∠DAB = 60°，则AC的长为_______.

答案： $\sqrt{3}$

11. 如图，菱形ABCD中，∠B = 60°，AB = 4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_______.

答案： 16 解析：
∵四边形$ABCD$为菱形，
∴$AB = BC$.
∵$\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$AC = AB = 4$，
∴正方形$ACEF$的周长为$4\times4 = 16$.

12. 如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作点P到直线AB，AD的垂线段PE，PF，若PE + PF = 8，则菱形ABCD的面积为_______.

答案： 80

13. 如图，已知菱形ABCD，∠ADC = 120°，点F在DB的延长线上，点E在DA的延长线上，且满足DE = BF. 求证：△EFC是等边三角形.

答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，$\angle ADC = 120^{\circ}$，
∴$AD// BC$，$CD = CB$，
∴$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle ADC = 60^{\circ}$，
∴$\triangle BCD$是等边三角形，
∴$\angle CBD = 60^{\circ}$，
∴$\angle FBC = 180^{\circ}-\angle CBD = 120^{\circ}$，
∴$\angle EDC=\angle FBC$.
在$\triangle EDC$和$\triangle FBC$中，
$CD = CB$，$\angle EDC=\angle FBC$，$DE = BF$，
∴$\triangle EDC\cong\triangle FBC(SAS)$，
∴$CE = CF$，$\angle DCE=\angle BCF$.
∵$\angle ECF=\angle BCE+\angle BCF=\angle BCE+\angle DCE=\angle BCD = 60^{\circ}$，
∴$\triangle EFC$是等边三角形.

14. 在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE.
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD = CE + PD；
（2）如图2、图3，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明.

答案：

(1)证明：
如图1，连接$AC$，延长$CE$交$AD$于$H$.
∵四边形$ABCD$是菱形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$，$\triangle ACD$都是等边三角形，$\angle ABD=\angle CBD = 30^{\circ}$，
∴$AB = AC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle CAH = 60^{\circ}$.
∵$\triangle APE$是等边三角形，
∴$AP = AE$，$\angle PAE = 60^{\circ}$.
∵$\angle BAC=\angle PAE$，
∴$\angle BAP=\angle CAE$，
∴$\triangle BAP\cong\triangle CAE(SAS)$，
∴$BP = CE$.
∵$BD = BP + PD$，
∴$BD = CE + PD$.
(2)解：
如图2，$BD = CE + PD$.
连接$AC$，设$AC$与$BD$交于点$O$，
∵四边形$ABCD$是菱形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$，$\triangle ACD$为等边三角形.
在$\triangle ABP$和$\triangle ACE$中，
$AB = AC$，$AP = AE$，
又
∵$\angle BAP=\angle BAC+\angle CAP = 60^{\circ}+\angle CAP$，
$\angle CAE=\angle EAP+\angle CAP = 60^{\circ}+\angle CAP$，
∴$\angle BAP=\angle CAE$，
∴$\triangle ABP\cong\triangle ACE(SAS)$，
∴$BP = CE$.
∵$BD = BP + PD$，
∴$BD = CE + PD$.
如图3，$BD = CE - PD$.
连接$AC$，设$AC$与$BD$交于点$O$，
∵四边形$ABCD$是菱形，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$，$\triangle ACD$为等边三角形，$\angle BAD = 120^{\circ}$.
在$\triangle ABP$和$\triangle ACE$中，
$AB = AC$，$AP = AE$.
又
∵$\angle BAP=\angle BAD+\angle DAP = 120^{\circ}+\angle DAP$，
$\angle CAE=\angle CAD+\angle DAP+\angle PAE = 120^{\circ}+\angle DAP$，
∴$\angle BAP=\angle CAE$，
∴$\triangle ABP\cong\triangle ACE(SAS)$，
∴$BP = CE$.
∵$BD = BP - PD$，
∴$BD = CE - PD$.