《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

11. 计算下列各题：
（1）$-2\sqrt{11} + 4\sqrt{11} - 6\sqrt{11} + 8\sqrt{11} - 10\sqrt{11}$；
（2）$(3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} + 5\sqrt{3}) - (4\sqrt{3} - 6\sqrt{2} + 7\sqrt{6})$；
（3）$|\sqrt{2} - \sqrt{5}| + |3 - \sqrt{5}|$．

答案： 解：
(1) 原式$=(-2 + 4 - 6 + 8 - 10)\sqrt{11}=-6\sqrt{11}$.
(2) 原式$=3\sqrt{6}-2\sqrt{2}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-7\sqrt{6}=4\sqrt{2}+\sqrt{3}-4\sqrt{6}$.
(3) 原式$=\sqrt{5}-\sqrt{2}+3-\sqrt{5}=3-\sqrt{2}$.

12. 若$\sqrt{12} + \sqrt{m} = n\sqrt{3}$（$n$为正整数），则$m$的值可以是 （ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. 18
C. 24
D. 75

答案： D
解析：$\because\sqrt{12}=2\sqrt{3},\therefore2\sqrt{3}+\sqrt{m}=n\sqrt{3}$. 因为$n$为正整数，所以$\sqrt{m}$化简后为$a\sqrt{3}$的形式（$a$为正整数）.
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{24}=2\sqrt{6},\sqrt{75}=5\sqrt{3}$. 故选 D.

13. 下列计算正确的是 （ ）
A. $\sqrt{x} + \sqrt{5x} = \sqrt{6x}$
B. $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 1$
C. $2 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
D. $5\sqrt{x} - 7\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$

答案： D

14.（2024·济宁微山县期中）已知$ab = 6$，那么代数式$a\sqrt{\frac{b}{a}} + b\sqrt{\frac{a}{b}}$的值是________．

答案： $\pm2\sqrt{6}$
解析：$\because ab = 6,\therefore a,b$同号，
当$a＞0,b＞0$时，
$a\sqrt{\frac{b}{a}}+b\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{b}{a}\times a^{2}}+\sqrt{\frac{a}{b}\times b^{2}}=2\sqrt{ab}=2\sqrt{6}$；
当$a＜0,b＜0$时，
$a\sqrt{\frac{b}{a}}+b\sqrt{\frac{a}{b}}=-\sqrt{\frac{b}{a}\times|a|^{2}}-\sqrt{\frac{a}{b}\times|b|^{2}}=-2\sqrt{ab}=-2\sqrt{6}$.
故所求值为$\pm2\sqrt{6}$.

15.（2024·青岛市南区校级月考）已知$A = 2\sqrt{2x + 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$，$C = \sqrt{10x + 3y}$，其中$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$，则$2y - x$的值为________．

答案： 68
解析：$\because A,B$为最简二次根式，且$A + B = C$，
$\therefore2x + 1 = x + 3$，解得$x = 2$，
$\therefore A = 2\sqrt{5},B = 3\sqrt{5},\therefore A + B = 5\sqrt{5}=C$.
$\because C=\sqrt{10x + 3y}$，
$\therefore10x + 3y=(5\sqrt{5})^{2}=125$，解得$y = 35$，
$\therefore2y - x = 2\times35 - 2 = 68$.

16. 已知最简二次根式$\sqrt[a + b]{7a}$和$\sqrt{a + 6}$可以合并，你能求出使$\sqrt{2x - 4ab}$有意义的$x$的取值范围吗？

答案： 解：根据题意，得$\begin{cases}a + b = 2\\7a = a + 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = 1\end{cases}$，
$\therefore\sqrt{2x - 4ab}=\sqrt{2x - 4}$.
$\because\sqrt{2x - 4}$有意义，$\therefore2x - 4\geq0,\therefore x\geq2$.

17. 计算：（1）$\sqrt{27} - 15\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48}$；
（2）$\frac{\sqrt{12}}{4} + 3\sqrt{32} - \sqrt{\frac{1}{12}} - 5\sqrt{0.5}$；
（3）$\frac{1}{2}\sqrt{32x^{3}} + 2x\sqrt{\frac{x}{2}} - x^{2}\sqrt{\frac{50}{x}}$．

答案： 解：
(1) 原式$=3\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}$.
(2) 原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}+12\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{5\sqrt{2}}{2}$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6})+(12\sqrt{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2})$
$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{19\sqrt{2}}{2}$.
(3) 原式$=\frac{4x\sqrt{2x}}{2}+\frac{2x\sqrt{2x}}{2}-\frac{5x^{2}\sqrt{2x}}{x}$
$=2x\sqrt{2x}+x\sqrt{2x}-5x\sqrt{2x}$
$=-2x\sqrt{2x}$.

18. 已知$7 + \sqrt{5}$和$7 - \sqrt{5}$的小数部分分别为$a$，$b$，试求代数式$a + 4b - 3$的值.

答案： 解：因为$\sqrt{5}$的整数部分为$2$，所以$7+\sqrt{5}=9 + a,7-\sqrt{5}=4 + b$，即$a=-2+\sqrt{5},b = 3-\sqrt{5}$，所以$a + 4b - 3=(-2+\sqrt{5})+4\times(3-\sqrt{5})-3=7 - 3\sqrt{5}$.