《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

10. 在平面直角坐标系中，已知点A( - 2, - 1)，点B(2,3)，点C(2, - 1)，在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为________，点D的坐标为________.

答案：
4 （-2，3） 解析：
∵点A，C的纵坐标相同，点B，C的横坐标相同，
∴AC//x轴，BC//y轴，AC = BC = 4，
∴∠ACB = 90°，∠CAB和∠CBA是锐角，
∴使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形只能是如图所示这种情况.

∴BD = AC = 4，点D的坐标为（-2，3）.

11.（2024·北京西城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是____________.（写出一个即可）

答案： ∠AEC = 90°（答案不唯一） 解析：添加一个条件是∠AEC = 90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，
∴AF//EC，AO = CO，
∴∠FAO = ∠ECO.
在△AOF和△COE中，$\begin{cases}∠AOF = ∠COE，\\AO = CO，\\∠FAO = ∠ECO，\end{cases}$
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF = EC.
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠AEC = 90°，
∴四边形AECF是矩形.
（答案不唯一）

12. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点P，BF⊥DC于点F.
（1）判断四边形DEBF的形状，并写出证明过程；
（2）若BE = 4，BF = 8，求DP的长.

答案：
解：
(1)四边形DEBF是矩形.
证明：
∵DE⊥AB，BF⊥DC，
∴∠DEB = ∠BFD = 90°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠DEB + ∠EDF = 180°，
∴∠EDF = ∠DEB = ∠BFD = 90°，
∴四边形DEBF是矩形.
(2)如图，连接PB.

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB = PD.
由
(1)知，
四边形DEBF是矩形，
∴DE = FB = 8.
设PD = BP = x，则PE = 8 - x.
在Rt△PEB中，
由勾股定理，得(8 - x)² + 4² = x²，解得x = 5，
∴DP = 5.

13.（泰州中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴点D是AB的中点，点E是AC的中点，点F是BC的中点，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB，EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF = $\frac{1}{2}$AB，
∴EF = AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
(2)解：当AF = $\frac{1}{2}$BC时，四边形ADFE为矩形.
理由：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC.
∵AF = $\frac{1}{2}$BC，
∴AF = DE.
由
(1)，得四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形.

14. 如图，在四边形ABCD中，AD = 26 cm，DC = 10 cm，CB = 5 cm，D，C两点到AB的距离分别为10 cm和4 cm，求四边形ABCD的面积.

答案：
解：
如图所示，过点D作DF⊥AB，CE⊥AB，过点C作CG⊥DF.
∵D，C两点到AB的距离分别为10 cm和4 cm，
∴DF = 10 cm，CE = 4 cm.
∵AD = 26 cm，DF⊥AB，
∴AF = $\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}$ = 24 cm.
∵CB = 5 cm，CE⊥AB，
∴BE = $\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}$ = 3 cm.
∵DF⊥AB，CE⊥AB，CG⊥DF，
∴四边形GFEC是矩形，
∴GF = CE = 4 cm，
∴DG = DF - GF = 6 cm，
∴CG = $\sqrt{CD^{2}-DG^{2}}$ = 8 cm，
∴四边形ABCD的面积 = $S_{△AFD}$ + $S_{梯形DFEC}$ + $S_{△BCE}$
= $\frac{1}{2}$AF·DF + $\frac{1}{2}$(CE + DF)·CG + $\frac{1}{2}$BE·CE
= $\frac{1}{2}$×24×10 + $\frac{1}{2}$(4 + 10)×8 + $\frac{1}{2}$×3×4
= 182(cm²).