《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

11. 下列说法正确的是 （ ）
A. 形如$ax^{2}+bx + c = 0$的方程称为一元二次方程
B. 方程$(x + 2)(x - 2)=0$是一元二次方程
C. 方程$x^{2}-2x = 1$的常数项为0
D. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0

答案： B

12. 若关于x的一元二次方程$(m - 3)x^{2}+m^{2}x = 9x + 5$化为一般形式后不含一次项，则m的值为_______.

答案： - 3

13. (青海中考)如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为$21 cm^{2}$的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计). 设剪去的正方形边长为x cm，则可列出关于x的方程为______________.

答案： (11 - 2x)(7 - 2x) = 21

14. 下列方程是整式方程吗？若是整式方程，是一元一次方程还是一元二次方程？
(1)$3x + 2 = 5x - 3$；
(2)$x^{2}=4$；
(3)$(x - 1)(x - 2)=x^{2}+8$；
(4)$(x + 3)(3x - 4)=(x + 2)^{2}$.

答案： 解：都是整式方程，
(1)3x + 2 = 5x - 3是一元一次方程.
(2)x² = 4是一元二次方程.
(3)(x - 1)(x - 2) = x² + 8是一元一次方程.
(4)(x + 3)(3x - 4) = (x + 2)²是一元二次方程.

15. 一元二次方程$a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0$化为一般形式后为$6x^{2}+10x - 1 = 0$，求以a，b为两条对角线长的菱形的面积.

答案： 解：将方程a(x² + 1) + b(x + 2) + c = 0化为一般形式为ax² + bx + a + 2b + c = 0，
∵a = 6，b = 10，
∴S_{菱形} = $\frac{1}{2}$×6×10 = 30.

16. 根据题意列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
(2)某兴趣活动小组成员将自己收集的资料向本组其他成员各送一份，全组共互送了20份，这个小组共有多少名成员？

答案： 解：
(1)设有x人参加聚会，根据题意，得$\frac{1}{2}$x(x - 1) = 10.
化为一般形式，得x² - x - 20 = 0.
(2)设这个小组共有x名成员，
根据题意，得x(x - 1) = 20.
化为一般形式，得x² - x - 20 = 0.

17. [抽象能力]若$x^{2a + b}-3x^{a - b}+1 = 0$是关于x的一元二次方程，求a，b的值. 下面是两名同学的解法.
甲：根据题意，得$\begin{cases}2a + b = 2,\\a - b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0.\end{cases}$
乙：根据题意，得$\begin{cases}2a + b = 2,\\a - b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 1,\\a - b = 2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1,\\b = - 1.\end{cases}$
你认为上述两名同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法.

答案： 解：都不正确，均考虑不全面. 正确的解法如下：欲使2a + b - 3x^{a - b} + 1 = 0是关于x的一元二次方程，
则$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 1\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 2\\a - b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 1\\a - b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}2a + b = 0\\a - b = 2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = \frac{4}{3}\\b = - \frac{2}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = \frac{2}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1\\b = - 1\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{4}{3}\end{cases}$.