《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

1. 如图，已知点A的坐标为$(-2\sqrt{3},2)$，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（ ）

A. $(-2\sqrt{3},-2)$
B. $(2\sqrt{3},-2)$
C. $(2,-2\sqrt{3})$
D. $(-2,-2)$

答案： B

2.（2024·泰安泰山区模拟）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F. 若$\angle ABC = 120^{\circ}$，$AB = 2$，则$PE - PF$的值为______.

答案： $\sqrt{3}$ 解析：设$AC$交$BD$于$O$，如图。
在菱形$ABCD$中，
$\because\angle ABC = 120^{\circ},AB = 2$，
$\therefore\angle BAD=\angle BCD = 60^{\circ},\angle DAC=\angle DCA = 30^{\circ},AD = AB = 2,BD\perp AC$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OD=\frac{1}{2}AD = 1,OA=\sqrt{3}$，
$\therefore AC = 2OA = 2\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle APE$中，$\angle DAC = 30^{\circ},PE=\frac{1}{2}AP$。
在$Rt\triangle CPF$中，$\angle PCF=\angle DCA = 30^{\circ},PF=\frac{1}{2}CP$。
$\therefore PE - PF=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}CP=\frac{1}{2}(AP - CP)=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore PE - PF=\sqrt{3}$。

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作$AF// BC$交BE的延长线于点F，连接CF.

(1) 求证：$\triangle AEF\cong\triangle DEB$；
(2) 求证：四边形ADCF是菱形；
(3) 若$AB = 5$，菱形ADCF的面积为10，求BC的长.

答案：
(1)证明：$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE = DE$。
$\because AF// BC$，$\therefore\angle AFE=\angle DBE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEB$中，$\begin{cases}\angle AFE=\angle DBE\\\angle AEF=\angle DEB\\AE = DE\end{cases}$，
$\therefore\triangle AEF\cong\triangle DEB(AAS)$，
(2)证明：由
(1)可知$\triangle AEF\cong\triangle DEB$，
$\therefore AF = DB$。
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD = CD$，$\therefore AF = CD$。
$\because AF// BC$，$\therefore$四边形$ADCF$是平行四边形。
$\because\angle BAC = 90^{\circ},D$是$BC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC = CD$，$\therefore$平行四边形$ADCF$是菱形。
(3)解：$\because$菱形$ADCF$的面积为$10$，$\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times10 = 5$。
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ACD}=10$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC = 10$，
即$\frac{1}{2}\times5\times AC = 10$，
$\therefore AC = 4$。
$\because\angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}$。

4. 如图，矩形ABCD中，$AB = 8$，点E是AD上的一点，且$DE = 4$，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G. 若G是AB的中点，则BC的长是（ ）

A. 6
B. 7
C. 8
D. 10.5

答案： B

5.（2024·枣庄峄城区期中）如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH. 若$AB = 2$，$BC = 4$，则四边形EFGH的面积为（ ）

A. 2
B. 4
C. 5
D. 6

答案： B 解析：如图，设$EG$与$FH$交于点$O$，
$\because$四边形$ABCD$为矩形，
$\therefore AD// BC,AB// CD,\angle A=\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$。
根据折叠的性质，可得$\angle AGE=\angle BGE = 90^{\circ},AG = BG$，$\angle AFH=\angle DFH = 90^{\circ},AF = DF$，
$\therefore AD// GE// BC,AB// FH// CD$，
$\therefore FH\perp GE,GE = BC = 4,FH = AB = 2,OF = OH,OG = OE$，
$\therefore$四边形$EFGH$为菱形，
$\therefore S_{菱形EFGH}=\frac{1}{2}GE\cdot FH=\frac{1}{2}\times2\times4 = 4$。故选B。