《2025年正大图书练测考八年级数学下册鲁教版》

12. 如图，四边形$ABCD\backsim$四边形$A'B'C'D'$，且$\angle A = 62^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$，$\angle D' = 140^{\circ}$，$AD = 9$，$A'B' = 11$，$A'D' = 6$，$B'C' = 8$.

(1)请直接写出：$\angle C=$________度；
(2)求边$AB$和$BC$的长.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠D = ∠D' = 140°，
∴∠C = 360° - ∠A - ∠B - ∠D = 360° - 62° - 75° - 140° = 83°.
答案：83
(2)
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴$\frac{AB}{11}=\frac{BC}{8}=\frac{9}{6}$，
∴$AB=\frac{33}{2}$，BC = 12.

13. 如图，四边形$ABCD$为平行四边形，$AE$平分$\angle BAD$交$BC$于点$E$，过点$E$作$EF// AB$，交$AD$于点$F$，连接$BF$.

(1)求证：$BF$平分$\angle ABC$；
(2)若$AB = 6$，且四边形$ABCD\backsim$四边形$CEFD$，求$BC$的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB = CD，
∴∠FAE = ∠AEB.
∵EF//AB，
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE = ∠BAE，
∴∠BAE = ∠AEB，
∴AB = EB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BF平分∠ABC.
(2)解：
∵四边形ABEF为菱形，
∴BE = AB = 6.
∵四边形ABCD∽四边形CEFD，CD = AB = 6，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{6}{BC - 6}=\frac{BC}{6}$，
解得$BC = 3\pm3\sqrt{5}$(负值舍去)，
∴$BC = 3 + 3\sqrt{5}$.

14. [推理能力]如图，点$E$是菱形$ABCD$对角线$CA$的延长线上任意一点，以线段$AE$为边作一个菱形$AEFG$，且菱形$AEFG\backsim$菱形$ABCD$，相似比是$\sqrt{3}:2$，连接$EB$，$GD$.

(1)求证：$EB = GD$；
(2)若$\angle DAB = 60^{\circ}$，$AB = 2$，求$GD$的长.

答案：

(1)证明：
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG = ∠BAD，AE = AG，AB = AD，
∴∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB，
∴∠EAB = ∠GAD.
∵AE = AG，AB = AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB = GD.
(2)解：如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC.

∵在菱形ABCD中，∠DAB = 60°，
∴∠PAB = 30°，
∴$BP=\frac{1}{2}AB = 1$.
∴$AP=\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{3}$，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是$\sqrt{3}:2$，AB = 2，
∴$AE=\sqrt{3}$，
∴$EP = AE + AP = 2\sqrt{3}$，
∴$EB=\sqrt{EP^{2}+BP^{2}}=\sqrt{12 + 1}=\sqrt{13}$，
∴$GD=\sqrt{13}$.