《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

21.［答案含评分细则］(12分)(2024江西九江修水二模)如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡.改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.实验数据记录如表：

(1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如(10,30)，(15,20)，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点.
(2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式.
(3)当砝码的质量为16 g时，活动托盘B与点O的距离是多少？

答案：
21解析 （1）由题意描点、连线，可画出图象如下：

…… 4分
（2）猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系， … 6分
设函数关系式为y = $\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0），
∵当x = 10时，y = 30，
∴30 = $\frac{k}{10}$，解得k = 300，
∴函数关系式为y = $\frac{300}{x}$（x＞0）（经验证，其他点也满足此函数关系式）. … 8分
（3）当y = 16时，16 = $\frac{300}{x}$，解得x = $\frac{75}{4}$.
答：活动托盘B与点O的距离是$\frac{75}{4}$ cm. … 12分

22.［答案含评分细则］(手拉手模型)(14分)(2022山东烟台中考)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.求证：BD = CE.
【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC = ∠ADE = 90°.连接BD，CE.请直接写出$\frac{BD}{CE}$的值.
【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC = ∠ADE = 90°，且$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$.连接BD，CE.
(1)求$\frac{BD}{CE}$的值.
(2)延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值.

答案： 22解析 【问题呈现】证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD = AE，AB = AC，∠DAE = ∠BAC = 60°， … 2分
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD = CE. … 4分
【类比探究】$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. … 8分
详解：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴$\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$，∠DAE = ∠BAC = 45°，
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
【拓展提升】（1）
∵$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{DE}$ = $\frac{3}{4}$，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC = ∠DAE，$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AD}{AE}$，
∴∠CAE = ∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{AB}{AC}$. … 10分
由$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{3}{4}$，设AB = 3t，BC = 4t，
则由勾股定理得AC = 5t，
∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BD}{CE}$ = $\frac{3}{5}$. … 12分
（2）由（1）得△CAE∽△BAD，
∴∠ACE = ∠ABD，
∵∠AGC = ∠BGF，
∴∠BFC = ∠BAC，
∴sin∠BFC = sin∠BAC = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{4}{5}$. … 14分