《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

14.(2024四川巴中中考,22,★☆☆)如图,在平面直角坐标系中,直线y = x + 2与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象交于A、B两点,点A的横坐标为1.
(1)求k的值及点B的坐标.
(2)点P是线段AB上一点,点M在直线OB上运动,当S△BPO = $\frac{1}{2}$S△ABO时,求PM的最小值.

答案： 解析
(1)把$x = 1$代入$y = x + 2$，得出$y = 3$，$\therefore A(1,3)$，$\therefore k = 1\times3 = 3$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$，联立$\begin{cases}y = x + 2\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 3\\y = - 1\end{cases}$，$\therefore B(-3,-1)$.
(2)设直线$y = x + 2$与$y$轴的交点为$C$，则点$C$的坐标为$(0,2)$，$\therefore OC = 2$，$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times2\times1+\frac{1}{2}\times2\times3 = 4$. $\because S_{\triangle BPO}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABO}$，$\therefore S_{\triangle BPO}=\frac{1}{2}\times4 = 2$. $\because B(-3,-1)$，$\therefore OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$. 当$PM$取得最小值时，$PM\perp OB$，$\therefore PM$的最小值为$\frac{2S_{\triangle BPO}}{OB}=\frac{2\times2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

15.推理能力(2024山东烟台龙口一模)如图,在x轴的正半轴上依次截取OA1 = A1A2 = A2A3,过点A1,A2,A3分别作x轴的垂线与反比例函数y = $\frac{2}{x}$(x＞0)的图象相交于点P1,P2,P3,连接OP1,A1P2,A2P3,得△OP1A1,△A1P2A2,△A2P3A3,并设其面积分别为S1,S2,S3,以此类推,则S2024的值为 ________.

答案：
答案 $\frac{1}{2024}$
解析 如图，连接$OP_{2}$，$OP_{3}$，$OP_{4}$，$\cdots$，$OP_{2024}$，根据反比例函数中$k$的几何意义可知$S_{\triangle OA_{1}P_{1}}=S_{\triangle OA_{2}P_{2}}=S_{\triangle OA_{3}P_{3}}=\cdots=S_{\triangle OA_{2024}P_{2024}} = 1$，$\because OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=\cdots=A_{2023}A_{2024}$，$\therefore S_{\triangle A_{1}A_{2}P_{2}}=\frac{1}{2}\times1$，$S_{\triangle A_{2}A_{3}P_{3}}=\frac{1}{3}\times1$，$S_{\triangle A_{3}A_{4}P_{4}}=\frac{1}{4}\times1$，$\cdots$，$S_{\triangle A_{2023}A_{2024}P_{2024}}=\frac{1}{2024}$，$\therefore S_{2024}=\frac{1}{2024}$.

16.推理能力(2023山东泰安泰山二模)如图,一次函数y = 2x与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0)的图象交于A,B两点,点P在以C(-2,0)为圆心,1为半径的☉C上,Q是AP的中点,已知OQ长的最大值为$\frac{3}{2}$,则k的值为 ________.

答案：
答案 $\frac{32}{25}$
解析 连接$BP$，由对称性得$OA = OB$，又$\because Q$是$AP$的中点，$\therefore OQ$是$\triangle APB$的中位线，$\therefore OQ=\frac{1}{2}BP$. $\because OQ$长的最大值为$\frac{3}{2}$，$\therefore BP$长的最大值为$2\times\frac{3}{2}=3$. 如图，当$BP$过圆心$C$时，$BP$最长，过$B$作$BD\perp x$轴于$D$，$\because CP = 1$，$\therefore BC = 2$，$\because B$在直线$y = 2x$上，$\therefore$设$B(t,2t)$，则$CD=t-(-2)=t + 2$，$BD=-2t$，在$Rt\triangle BCD$中，由勾股定理得$BC^{2}=CD^{2}+BD^{2}$，$\therefore 2^{2}=(t + 2)^{2}+(-2t)^{2}$，解得$t = 0$(舍)或$t=-\frac{4}{5}$，$\therefore B(-\frac{4}{5},-\frac{8}{5})$，又$\because$点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=-\frac{4}{5}\times(-\frac{8}{5})=\frac{32}{25}$.

1.（2024广东中山期末）在同一直角坐标系中，函数$y=-k(x - 1)$与$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象可能是( )
　　

答案： A 由函数$y = -k(x - 1)$知直线必过点$(1,0)$，故 B、C 不合题意；A、D 中，由函数$y = -k(x - 1)$的图象可知$k＞0$，因此函数$y = \frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，故 A 符合题意，D 不合题意. 故选 A.

2.（2024山东潍坊寿光二模）函数$y=\frac{a}{x}$与$y=ax^{2}-a(a\neq0)$在同一直角坐标系中的图象可能是( )
　　

答案： B A 中，双曲线在第二、四象限，则$a0$，矛盾. B、C、D 中，双曲线在第一、三象限，则$a＞0$，此时抛物线$y = ax^{2}-a$应该开口向上，且与$y$轴交于负半轴，故 B 符合题意. 故选 B.

3.（2023山东泰安中考）一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y=\frac{ab}{x}(a,b$为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
　　

答案： D 选项 A，一次函数y = ax + b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，$\therefore ab＞0；$反比例函数$y = \frac{ab}{x}$的图象位于第二、四象限，$\therefore ab0，$b