《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

12.(2024河南商丘夏邑期末,4,★☆☆) 已知实数$a = \tan 30^{\circ},b = \cos 60^{\circ},c = \sin 45^{\circ}$, 则下列判断正确的是（M9228002） （ ）
A.$b ＞ a ＞ c$
B.$c ＞ a ＞ b$
C.$b ＞ c ＞ a$
D.$a ＞ c ＞ b$

答案： B $a = \tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$b = \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$c = \sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\because\frac{\sqrt{2}}{2}＞\frac{\sqrt{3}}{3}＞\frac{1}{2}$，$\therefore c ＞ a ＞ b$. 故选B.

13.(2023内蒙古包头期末,3,★☆☆) 下列运算中, 值为$\frac{1}{4}$的是（M9228002） （ ）
A.$\sin 45^{\circ}\times\cos 45^{\circ}$
B.$\tan 45^{\circ}-\cos^{2}30^{\circ}$
C.$\frac{\tan 30^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}$
D.$(\tan 60^{\circ})^{-1}$

答案： B 选项A，$\sin45^{\circ}\times\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$；选项B，$\tan45^{\circ}-\cos^{2}30^{\circ}=1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；选项C，$\frac{\tan30^{\circ}}{\cos60^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$；选项D，$(\tan60^{\circ})^{-1}=(\sqrt{3})^{-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 故选B.

14.(2024山东聊城莘县月考,11,★★☆) 若锐角$A、B$满足$(\sqrt{3}\tan A - 3)^{2}+\vert2\cos B - 1\vert = 0$, 则$\triangle ABC$是（M9228002） （ ）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有$60^{\circ}$角的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形

答案： B $\because(\sqrt{3}\tan A - 3)^{2}+\vert2\cos B - 1\vert = 0$，$\therefore\sqrt{3}\tan A - 3 = 0$，$2\cos B - 1 = 0$，$\therefore\tan A=\sqrt{3}$，$\cos B=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$是等边三角形. 故选B.

15.(2021四川泸州中考,8,★★☆) 在锐角$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别为$a,b,c$, 有以下结论:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ (其中$R$为$\triangle ABC$的外接圆半径) 成立. 在$\triangle ABC$中, 若$\angle A = 75^{\circ},\angle B = 45^{\circ},c = 4$, 则$\triangle ABC$的外接圆面积为（M9228002） （ ）
A.$\frac{16\pi}{3}$
B.$\frac{64\pi}{3}$
C.$16\pi$
D.$64\pi$

答案： A $\because\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$，$\because\frac{c}{\sin C}=2R$，$\therefore2R=\frac{4}{\sin60^{\circ}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$，$\therefore R=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，$\therefore\triangle ABC$的外接圆的面积$=\pi R^{2}=\pi(\frac{4}{3}\sqrt{3})^{2}=\frac{16}{3}\pi$. 故选A.

16.(2022黑龙江绥化中考,18,★★☆) 定义一种运算:
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$,
$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
例如: 当$\alpha = 45^{\circ},\beta = 30^{\circ}$时,$\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, 则$\sin 15^{\circ}$的值为______.（M9228002）

答案： 答案 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
解析 $\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

17.(2023安徽安庆潜山期末,20,★★☆) 已知$\alpha$是锐角, 且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 求$3\cos^{2}\alpha+\sin(\alpha - 15^{\circ})\tan(\alpha + 15^{\circ})-\sqrt{3}\cos(\alpha - 15^{\circ})$的值.（M9228002）

答案： 解析 $\because\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$且$\alpha$是锐角，$\therefore\alpha = 45^{\circ}$.
$\therefore3\cos^{2}\alpha+\sin(\alpha - 15^{\circ})\tan(\alpha + 15^{\circ})-\sqrt{3}\cos(\alpha - 15^{\circ})$
$=3\cos^{2}45^{\circ}+\sin30^{\circ}\tan60^{\circ}-\sqrt{3}\cos30^{\circ}$
$=3\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

18.抽象能力 我们知道:$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 可得$\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$, 那么对于任意的锐角$A$, 是否都有$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$呢?
(1) 如图, 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ},\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别为$a,b,c$, 可得$\sin A=\frac{a}{c}$,$\cos A=\frac{b}{c}$, 证明:$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$.
(2) 若$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{3}$, 利用 (1) 的结论求$\cos A$的值.
(3) 用以上探究的方法你能得出$\sin A,\cos A,\tan A$三者之间的关系吗? 请直接写出答案.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析
(1)证明：$\because$在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
又$\because\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，
$\therefore\sin^{2}A+\cos^{2}A=(\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1$.
(2)$\because\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$，$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
$\therefore\cos^{2}A=1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}=\frac{7}{9}$，$\therefore\cos A=\frac{\sqrt{7}}{3}$(负值舍去).
(3)$\because\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$，
$\therefore\cos A\cdot\tan A=\frac{b}{c}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{c}=\sin A$，
即$\sin A=\cos A\cdot\tan A$.