《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

17.[新考法](2023湖北武汉中考,13,★★☆)将45°的∠AOB按如图所示的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).

答案：
答案　2.7
解析　如图,过点B作BD⊥OA于D,过点C作CE ⊥OA于E,在△BOD中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,
∴CE=BD=OD=2cm,在△OCE中,∠COE=37°,∠CEO=90°,
∴tan37°=$\frac{CE}{OE}$≈0.75,
∴OE≈2.7cm,即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm.

18.(2024江苏溧阳一模,17,★★☆)如图,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,点D在AC上,连接BD,使得BD=AC,以AC为边向外作△ACE,若CE//BD,tan E=2,则边AE的长为________.(M9228004)

答案：
答案　$\sqrt{5}$
解析　如图，过点A作CE边的垂线，垂足为M,
∵AM⊥CE,∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠AMC.
∵CE//BD,
∴∠BDC=∠ACM.在△BCD和△AMC中，$\begin{cases}∠BCD = ∠AMC,\\∠BDC = ∠ACM,\\BD = AC,\end{cases}$
∴△BCD≌△AMC(AAS)，
∴AM=BC=2.在Rt△AME中,tanE=$\frac{AM}{ME}$，
∴ME=$\frac{2}{2}$=1,
∴AE=$\sqrt{1^{2}+2^{2}}$=$\sqrt{5}$.

19.[新考向·尺规作图综合题](2022福建中考,23,★★★)如图,

BD是矩形ABCD的对角线.(M9228004)
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.

答案：
解析　
(1)根据题意作图如下:

(2)如图,连接AG,设∠ADB=α,⊙A的半径为r,

∵BD与⊙A相切于点E,直线CF与⊙A相切于点G,
∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°.
∵CF⊥BD,
∴∠EFG=90°,
∴四边形AEFG是矩形.又AE=AG=r,
∴四边形AEFG是正方形，
∴EF=AE=r.在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABE=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α.在Rt△ABE中,tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，
∴BE=r·tanα.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,又∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tanα,
∴DE=DF+EF=r·tanα+r.在Rt△ADE中,tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，即DE·tanα=AE,
∴(r·tanα+r)·tanα=r,即tan²α+tanα−1=0,
∵tanα＞0,
∴tanα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即tan∠ADB的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

20.[推理能力][胡不归模型]如图,

在△ABC中,AB=5,AC=4,sin A=$\frac{4}{5}$,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+$\frac{3}{5}$PB的最小值为________.

答案：
答案　$\frac{16}{5}$
解析　如图,作PE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F.
∵BD⊥AC交AC于点D,AB=5,sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BD=AB·sinA=5×$\frac{4}{5}$=4,由勾股定理得AD=3,
∴sin∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{5}$.在Rt△BEP中,PE=PB·sin∠PBE=$\frac{3}{5}$PB,
∴PC+$\frac{3}{5}$PB=PC+PE,
∵当C、P、E在同一条直线上时，PC+PE的值最小，且为CF的长，
∴PC+$\frac{3}{5}$PB的最小值为CF的长.在Rt△ACF中,AC=4,
∴CF=AC·sinA=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$,即PC+$\frac{3}{5}$PB的最小值为$\frac{16}{5}$.