《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

7.如图，AD为直角三角形ABC斜边上的高，DE⊥AB于点E，图中相似三角形共有________对.
　　　　　　　

答案： 答案 10
解析
∵AD是Rt△ABC斜边上的高,DE⊥AB,
∴∠AED=∠ADC=∠BED=∠ADB=∠CAB=90°.
∵∠C=∠C,∠B=∠B,
∴△ACD∽△BCA∽△BDE∽△BAD,
∵∠DAE=∠BAD,
∴△DAE∽△BAD,
∴△ACD∽△BCA∽△BDE∽△BAD∽△DAE,
∴题图中共有10对相似三角形.

8.(2024广东佛山顺德期末，10，★☆☆)如图，∠1 = ∠2，添加一个条件能判定△ABC∽△ADE的是(M9227004) （ ）
①∠C = ∠E；
②∠B = ∠ADE；
③$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$；
④$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
　　　　　　　　　　　　
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

答案： B
∵∠1=∠2,
∴∠DAE=∠BAC.①添加∠C=∠E,可用两角定理判定△ABC∽△ADE,符合题意;②添加∠B=∠ADE,可用两角定理判定△ABC∽△ADE,符合题意;③添加$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,无法判定△ABC∽△ADE,不符合题意;④添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,可用两边夹角定理判定△ABC∽△ADE,符合题意.故选B.

9.(2024陕西西安碑林期末，8，★☆☆)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，1)，(1，5)，(5，1)，(7，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(M9227004) （ ）
　　　　　　　
A.(7，-2)
B.(5，-1)
C.(6，0)
D.(7，3)

答案：
A
∵点A,B,C的坐标分别是(1,1),(1,5),(5,1),
∴AB=AC=4,∠BAC=90°,即△ABC为等腰直角三角形,
∵以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,
∴△CDE为等腰直角三角形,
∵C,D的坐标分别是(5,1),(7,1),
∴CD=2,当CD为腰时,如图1,E₁(5,3)、E₂(7,3)、E₃(5,-1)、E₄(7,-1)符合,当CD为底边时,如图2,E₅(6,2)、E₆(6,0)符合.综上,点E的坐标可能是(5,3),(7,3),(5,-1),(7,-1),(6,2),(6,0).故选A.

10.(2024广东深圳龙华二模，10，★★☆)如图，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，E是对角线AC上一点，连接BE，作∠BEF = 120°，交CD边于点F，若$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DF}{FC}$的值为（ ）
　　　　　　
A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： D
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠ABC=60°,
∴△ABC,△ACD是等边三角形,
∴∠BCE=∠ACD=60°,BC=AC,
∴∠CBE+∠BEC=180° - 60° = 120°,
∵∠BEF = 120°,
∴∠CEF +∠BEC=120°,
∴∠CEF=∠CBE,
∵∠ECF=∠BCE,
∴△CEF∽△CBE,
∴CF∶CE=CE∶BC,
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$,
∴令AE=x,则EC=2x,
∴AC=x+2x=3x,
∴BC=AC=3x,
∴CF∶2x=2x∶3x,
∴CF=$\frac{4}{3}x$,
∴DF=3x-$\frac{4}{3}x=\frac{5}{3}x$,
∴$\frac{DF}{FC}=\frac{5}{4}$.故选D.

11.(2024重庆中考A卷，15，★★☆)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD = CA，过点D作DE//CB，且DE = DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB = ∠CFA，CF = 1，则BF = __________.(M9227004)
　　　　　　

答案： 答案 3
解析
∵CD=CA,DE//CB,
∴AF=EF,
∴CF是△ADE的中位线,
∴DE=2CF=2,
∵DE=DC,CD=CA,
∴AC=DE=2,
∵∠CAB=∠CFA,∠ACF=∠ACB,
∴△CAF∽△CBA,
∴AC∶BC=CF∶AC,
∴2∶BC=1∶2,
∴BC=4,
∴BF=BC-FC=3.

12.(2022甘肃武威中考，18，★★☆)如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE = 2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为__________cm.
(M9227004)
　　　　　　

答案： 答案 $\sqrt{13}$
解析
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=6 cm,∠ABC = ∠C = 90°,AB//CD,
∴∠ABD = ∠BDC.
∵AE=2 cm,
∴BE=AB-AE=6-2=4(cm).
∵G是EF的中点,
∴EG = BG=$\frac{1}{2}EF$,
∴∠BEG = ∠ABD,
∴∠BEG=∠BDC,
∴△EBF∽△DCB,
∴$\frac{EB}{DC}=\frac{BF}{CB}$,
∴$\frac{4}{6}=\frac{BF}{9}$,
∴BF = 6 cm,
∴EF = $\sqrt{BE²+BF²}=\sqrt{4²+6²}=2\sqrt{13}$(cm),
∴BG=$\frac{1}{2}EF=\sqrt{13}$(cm).

13.(2024广东阳江江城一模，21，★★☆)如图，在△ABD中，O是边AD上的一点，以点O为圆心，OD的长为半径作圆，⊙O恰好与边AB相切于点B，与边AD交于点C，连接BC.
(M9227004)
(1)求证：△ABC∽△ADB.
(2)若AB = 5，AC = 3，求⊙O的半径.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析
(1)证明:如图,连接OB,
∵AB与圆O相切于点B,
∴OB⊥AB,
∴∠ABC+∠CBO=90°,
∵CD是圆的直径,
∴∠CBD=90°,
∴∠D+∠OCB=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠D=∠ABC,
∵∠CAB=∠BAD,
∴△ABC∽△ADB.

(2)
∵△ABC∽△ADB,
∴AB∶AD=AC∶AB,
∵AB=5,AC=3,
∴5∶AD=3∶5,
∴AD=$\frac{25}{3}$,
∴CD=AD-AC=$\frac{16}{3}$,
∴☉O的半径是$\frac{1}{2}CD=\frac{8}{3}$.