《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

11.(2024宁夏吴忠盐池一模，15，★★☆)某区域平面示意图如图所示，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在B处测得点O位于北偏东41.32°，乙勘测员在A处测得点O位于南偏西60°，测得AC = 300 m，BC = 400 m，则点O到AC的距离约为________m.(结果保留整数.参考数据：sin 41.32°≈0.66，cos 41.32°≈0.75，tan 41.32°≈0.88，$\sqrt{3}\approx1.73$)(M9228005)

答案：
答案 276
解析 如图，过O作ON⊥BC于N，OM⊥AC于M，则四边形ONCM为矩形，
∴ON = MC，OM = NC，设OM = x m，则NC = x m，
∴BN = $(400 - x)$m，在Rt△BNO中，∠BON = 41.32°，
∴ON = $\frac{BN}{\tan 41.32^{\circ}}\approx\frac{400 - x}{0.88}$m，则MC = ON = $\frac{400 - x}{0.88}$m，在Rt△AOM中，∠OAM = 60°，
∴AM = $\frac{OM}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$m，
∵AC = AM + CM，
∴300 = $\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{400 - x}{0.88}$，解得x≈276，即点O到AC的距离约为276 m.

12.教材变式·P77练习T1 (2023山东临沂中考，19，★★☆)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险?（参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.600）

答案：
解析 如图，过点A作AD⊥BC交直线BC于D，设AD = x海里，由题意得∠ABD = 90° - 58° = 32°，∠ACD = 45°，BC = 6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD = ∠CAD = 45°，
∴CD = AD = x海里，
在Rt△ABD中，$\tan\angle ABD=\frac{AD}{BD}$，
∴BD = $\frac{AD}{\tan 32^{\circ}}$，即6 + x≈$\frac{x}{0.625}$，
∴x≈10.
∵10＞9，
∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险.

13.应用意识 (2024重庆中考A卷)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{6}\approx2.45$)(M9228005)
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留一位小数).
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港?请通过计算说明.

答案：
解析
(1)如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABE中，∠BAE = 90° - 45° = 45°，AB = 40海里，
∴BE = AE = AB·cos 45° = $40\times\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)，
在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，
∴CE = BE·tan 60° = $20\sqrt{2}\times\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(海里)，
∴AC = AE + CE = $20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx77.2$(海里).
答：A，C两港之间的距离约为77.2海里.

(2)甲货轮先到达C港.
理由：如图，由题意得∠CDF = 30°，DF//AG，
∴∠GAD = ∠ADF = 60°，
∴∠ADC = ∠ADF + ∠CDF = 90°，
∵∠CAD = 90° - ∠GAD = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$海里，
∴AD = $\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里.
在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，BE = $20\sqrt{2}$海里，
∴BC = $\frac{BE}{\cos 60^{\circ}}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 40\sqrt{2}$(海里)，
∴甲货轮航行的路程 = AB + BC = $40 + 40\sqrt{2}\approx96.4$(海里)，
乙货轮航行的路程 = AD + CD = $10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}\approx105.4$(海里)，
∵96.4海里