《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

1.(2024广东中山三模)在Rt△ABC中,∠ABC = 90°,AB = 4,AC = 5,则sin A的值为(M9228001) ( )


A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： B
∵∠ABC = 90°,AB = 4,AC = 5,
∴BC = $\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$,
∴$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$.故选B.

2.(2024河北承德兴隆期末)在Rt△ABC中,∠C = 90°,若△ABC的三边都扩大为原来的5倍,则sin A的值(M9228001) ( )
A.放大为原来的5倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{5}$
C.不能确定
D.不变

答案： D
∵∠C = 90°,
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}$,
∵△ABC的三边都扩大为原来的5倍,
∴$\frac{BC}{AB}$的值不变,即$\sin A$的值不变.故选D.

3.新独家原创 如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,分别交AB,AC于点D,E,连接CD,若CD = 5,BC = 6,则sin A的值为 ( )
A.$\frac{3}{4}$ B.$\frac{3}{5}$ C.$\frac{4}{5}$ D.$\frac{5}{6}$
　　

答案： B 由作图知,DE垂直平分AC,
∵∠ACB = 90°,
∴DE//BC,
∵E为AC的中点,
∴D为AB的中点,
∴AD = DB = CD = 5,
∴AB = 10,
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.故选B.

4.(2024广东深圳福田期中)将∠BAC放置在4×4的正方形网格中,顶点A在格点上,则sin∠BAC的值为________.(M9228001)
　　

答案：
答案 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析 如图,连接BC,设网格中小正方形的边长为1,则AB = BC = $\sqrt{10}$,AC = $2\sqrt{5}$,
∴$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$,
∴∠ABC = 90°,
∴$\sin\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5.(2023浙江温州鹿城月考)在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 2,sin A = $\frac{1}{3}$,求AC,AB及sin B的值.(M9228001)
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析 在Rt△ABC中,∠C = 90°,BC = 2,$\sin A=\frac{1}{3}$,
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$,即$\frac{2}{AB}=\frac{1}{3}$,
∴AB = 6,
∴AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}} = 4\sqrt{2}$,
∴$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

6.教材变式·P69T6 (2023上海闵行期末,5,★☆☆)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠B = β,CD⊥AB,垂足为点D,那么下列线段的比值不一定等于sin β的是(M9228001) ( )
A.$\frac{AD}{BD}$ B.$\frac{AC}{AB}$ C.$\frac{AD}{AC}$ D.$\frac{CD}{BC}$
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： A A项,$\frac{AD}{BD}$不一定等于$\sin\beta$,符合题意;B项,△ABC是直角三角形,$\sin\beta=\frac{AC}{AB}$,不符合题意;C项,
∵CD⊥AB,∠ACB = 90°,
∴∠ACD + ∠A = 90° = ∠B + ∠A,
∴∠ACD = ∠B,
∴$\sin\beta=\frac{AD}{AC}$,不符合题意;D项,△BCD是直角三角形,$\sin\beta=\frac{CD}{BC}$,不符合题意.故选A.

7.(2023安徽池州东至期末,13,★☆☆)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,1)和点B(4,0),则sin∠ABO的值为________.(M9228001)

答案：
答案 $\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析 如图,根据题意可画出直角坐标系,作AD⊥x轴于D,
∵A(2,1),B(4,0),
∴OD = 2,AD = 1,OB = 4,
∴BD = 2,在Rt△ADB中,由勾股定理可得AB = $\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,
∴$\sin\angle ABO=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

8.构造直角三角形 (2024甘肃武威凉州一模,14,★★☆)如图,网格中小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正弦值是________.
　　　　　　

答案：
答案 $\frac{\sqrt{10}}{10}$
解析 如图,作BD⊥AO于D,取格点C,连接OC、BC,则OC⊥AC.由题意可知AB = 2,AO = $\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$,BO = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$,OC = 2,
∵$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}AO\cdot BD$,即$\frac{1}{2}\times2\times2=\frac{1}{2}\times2\sqrt{5}\cdot BD$,
∴BD = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴$\sin\angle AOB=\frac{BD}{OB}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.