《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

14.(分类讨论思想)(2024河南南阳镇平模拟)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 4，直角三角尺中45°角的顶点P在边BC上移动(点P不与点B、C重合)，如图，直角三角尺的一条直角边始终经过点A，斜边与边AC交于点Q，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为________.(M9227004)
　　　　　　

答案： 答案 2 或 4√2 - 4
解析
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC = √2AB = 4√2，∠B = ∠C = 45°，
∵∠APC = ∠B + ∠BAP，
∴∠APQ + ∠CPQ = ∠B + ∠BAP，又∠APQ = 45° = ∠B，
∴∠BAP = ∠CPQ，
∴△CPQ∽△BAP，
∴CQ/BP = CP/BA. 当PB = PA时，AP⊥BC，此时BP = CP = 1/2BC = 2√2，
∴CQ = (2√2×2√2)/4 = 2；当BP = AB = 4时，PC = 4√2 - 4，
∴CQ = PC = 4√2 - 4；
∵点P不与点B、C重合，
∴不存在AB = AP的情况. 综上所述，CQ的长为2或4√2 - 4.

15.(8分)(2024四川达州模拟)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点在格点(网格线的交点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为(1，0).(M9227006)
(1)将△ABC向左平移5个单位长度，得到$△A_{1}B_{1}C_{1}，$画出$△A_{1}B_{1}C_{1}.$
(2)以点O为位似中心，将$△A_{1}B_{1}C_{1}$各边放大到原来的两倍(即新图与原图的相似比为2)，得到$△A_{2}B_{2}C_{2}，$在所给网格中画出$△A_{2}B_{2}C_{2}.$
(3)若点M是AB的中点，经过(1)(2)两次变换，M的对应点$M_{2}$的坐标是________.
　　　　　　

答案：
解析
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如图，△A₂B₂C₂即为所求.

(3)如图，M₂的坐标是(6,-2).

16.(新考向·续写过程)(10分)(2023河北石家庄裕华模拟)请阅读以下材料，并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图②，过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E……
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分.
(2)如图③，在△ABC中，AD是角平分线，AB = 5 cm，AC = 4 cm，BC = 7 cm，求BD的长.
　

答案： 解析
(1)
∵CE//DA，
∴BD/CD = BA/EA，∠CAD = ∠ACE，∠BAD = ∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD，
∴∠ACE = ∠E，
∴AE = AC，
∴AB/AC = AB/AE = BD/CD.
(2)
∵AD是角平分线，
∴AB/AC = BD/CD，
∵AB = 5 cm，AC = 4 cm，BC = 7 cm，
∴5/4 = BD/(7 - BD)，
解得BD = 35/9 cm.

17.(10分)(2024江苏盐城中考)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD.
(2)若AC = 5，CD = 4，求⊙O的半径.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解析
(1)证明：如图，连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC//AD，
∴∠CAD = ∠ACO，
∵AO = CO，
∴∠ACO = ∠CAB，
∴∠CAD = ∠CAB，
∵∠D = ∠ACB = 90°，
∴△ABC∽△ACD.

(2)
∵AC = 5，CD = 4，∠ADC = 90°，
∴AD = √(AC² - CD²) = 3，
∵△ABC∽△ACD，
∴AB/AC = AC/AD，
∴AB/5 = 5/3，
∴AB = 25/3，
∴⊙O的半径为25/6.