《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

10.(一线三等角模型)(2024广东中山二模)如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0,x＞0)图象上.若直线BC的函数表达式为y = $\frac{1}{2}$x - 4，则反比例函数表达式为(M9226002) ( )

A.y = $\frac{6}{x}$
B.y = $\frac{12}{x}$
C.y = $\frac{16}{x}$
D.y = $\frac{24}{x}$

答案：
如图，设直线BC与y轴交于点G，在y = $\frac{1}{2}$x - 4中，令y = 0，则x = 8，令x = 0，则y = -4，
∴B(8,0)，G(0,-4)，
∴OB = 8，OG = 4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC，∠ABC = 90°，
∴∠EAB + ∠ABE = ∠ABE + ∠CBF = 90°，
∴∠EAB = ∠CBF，在△AEB与△BFC中，$\begin{cases}∠AEB = ∠BFC = 90° \\∠BAE = ∠FBC \\AB = BC\end{cases}$，
∴△AEB≌△BFC(AAS)，
∴AE = BF，BE = CF，
∵∠BOG = ∠BFC = 90°，∠OBG = ∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{OG}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴设CF = a，BF = 2a，则AE = 2a，BE = a，
∴A(8 - a,2a)，C(8 + 2a,a)，
∵点A，点C在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k＞0,x＞0)图象上，
∴2a(8 - a)=a(8 + 2a)，
∴a = 2或a = 0(舍去)，
∴A(6,4)，
∴k = 4×6 = 24，
∴反比例函数表达式为y = $\frac{24}{x}$.故选D.

11.(新独家原创)已知函数y = (k² + k)x^{k² - k - 1}是反比例函数，则($\sqrt{2026}$ + k)($\sqrt{2026}$ - k) = ________.

答案： 答案 2025 解析 由题意得k² - k - 1 = -1，且k² + k≠0，解得k = 1，
∴($\sqrt{2026}$+k)($\sqrt{2026}$-k)=($\sqrt{2026}$+1)·($\sqrt{2026}$-1)=2026 - 1 = 2025.

12.(新考向·开放型试题)(2024云南昆明五华三模)如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC//BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC.你添加的条件是________.(M9227004)

答案： 答案 ∠BDE = ∠ABC(或∠BED = ∠ACB或$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BE}{AC}$，答案不唯一)解析
∵AC//BD，
∴∠DBE = ∠BAC，则添加∠BDE = ∠ABC或∠BED = ∠ACB，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”得出△BDE∽△ABC；添加$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BE}{AC}$，可依据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出△BDE∽△ABC.

13.(2024山东滨州滨城二模)如图，将△ABC平移到△DEF的位置，点A的对应点为点D，DE、DF分别交BC于点G、H，若AB = 3DG，则$\frac{S_{\triangle DGH}}{S_{\triangle ABC}}$ = ________.(M9227005)

答案： 答案 $\frac{1}{9}$解析 由平移的性质得△ABC≌△DEF，GH//EF，
∴AB = DE，△DGH∽△DEF，
∵AB = 3DG，
∴DE = 3DG，即$\frac{DG}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
∵△DGH∽△DEF，
∴$\frac{S_{\triangle DGH}}{S_{\triangle DEF}}$=($\frac{DG}{DE}$)² = ($\frac{1}{3}$)²=$\frac{1}{9}$，
∴$\frac{S_{\triangle DGH}}{S_{\triangle ABC}}$=$\frac{1}{9}$.

14.(跨物理·电学)(2024江苏盐城盐都二模)图1是一电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图2所示.小明通过调节电阻，发现当R从10 Ω增加到20 Ω时，电功率P减少了20 W，则当R = 25 Ω时，P = ________W.(M9227004)

答案： 答案 16 解析 设R为10Ω时，P为x W，根据题意得10x = 20(x - 20)，解得x = 40，
∵10×40 = 400，
∴P = $\frac{400}{R}$，当R = 25时，P = $\frac{400}{25}$=16，即当R = 25Ω时，P为16 W.

15.(2024广东深圳福田三模)如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，延长AB交y轴于点D，若BD∶AB = 2∶3，△BOD的面积为$\frac{2}{3}$，则k的值为________.

答案：
答案 5 解析 如图，作AE⊥x轴，垂足为E，连接OA，
∵BD : AB = 2 : 3，△BOD的面积为$\frac{2}{3}$，
∴S△AOB = $\frac{2}{3}$×$\frac{3}{2}$=1，
∵OD//AE，
∴△OBD∽△EBA，
∴$\frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle EAB}}$=($\frac{BD}{AB}$)²=$\frac{4}{9}$，
∴S△EAB = $\frac{\frac{2}{3}×9}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴S△OAE = S△AOB + S△EAB = 1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵点A在反比例函数图象上，且图象在第一象限，
∴k = 2S△OAE = 5.

16.(2023广东揭阳中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________.

答案：
答案 15 解析 如图，
∵BF//DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BF}{DE}$，
∵AB = 4，AD = 4 + 6 + 10 = 20，DE = 10，
∴$\frac{4}{20}$=$\frac{BF}{10}$，
∴BF = 2，
∴GF = 6 - 2 = 4，
∵CK//DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{CK}{DE}$，
∵AC = 4 + 6 = 10，AD = 20，DE = 10，
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{CK}{10}$，
∴CK = 5，
∴HK = 6 - 5 = 1，
∴阴影部分的面积 = $\frac{1}{2}$(HK + GF)·GH = $\frac{1}{2}$×(1 + 4)×6 = 15.

17.［答案含评分细则］(10分)(2024山东济宁金乡一模)如图，点A(3,6)，B(6,a)是反比例函数y = $\frac{m}{x}$(m＞0)的图象上的两点.
(1)求a的值.
(2)求△AOB的面积.

答案：
解析
(1)把A(3,6)代入y = $\frac{m}{x}$，得m = 18，即y = $\frac{18}{x}$， ………………………… 3分把B(6,a)代入y = $\frac{18}{x}$，可得a = $\frac{18}{6}$=3. ………………………… 5分
(2)如图，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∵A(3,6)，B(6,3)，
∴AM = 6，OM = 3，ON = 6，BN = 3， …………………… 7分
∴S△AOB = S△AMO + S梯形AMNB - S△BNO= $\frac{1}{2}$×3×6+$\frac{1}{2}$×(6 + 3)×(6 - 3)-$\frac{1}{2}$×6×3 = $\frac{27}{2}$. …… ………………………… 10分