《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

14.(2024黑龙江哈尔滨道里三模,9,★☆☆)如图,在□ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,$\frac{EF}{EC}=\frac{1}{3}$,则下列结论错误的是 （ ）

A.$\frac{CD}{AG}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{EF}{GF}=\frac{1}{8}$
C.$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{S_{\triangle GAF}}{S_{四边形ABCF}}=\frac{2}{3}$

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD,AD = BC,
∴△DEF∽△BEC,△GAF∽△GBC,△CDF∽△GAF,
∵$\frac{EF}{EC}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{FD}{BC}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{FD}{AD}=\frac{1}{3}$,$\frac{FD}{AF}=\frac{1}{2}$,
∵△CDF∽△GAF,
∴$\frac{FD}{AF}=\frac{CD}{AG}=\frac{CF}{GF}=\frac{1}{2}$,故A选项不符合题意;
∵$\frac{EF}{EC}=\frac{1}{3}$,
∴$\frac{EF}{FC}=\frac{1}{4}$,又$\frac{CF}{GF}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{EF}{GF}=\frac{1}{8}$,故B选项不符合题意;$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$,故C选项不符合题意;$\frac{S_{\triangle GAF}}{S_{\triangle GBC}}=(\frac{AF}{BC})^2=\frac{4}{9}$,
∴$\frac{S_{\triangle GAF}}{S_{四边形ABCF}}=\frac{4}{5}$,故D选项符合题意.故选D.

15.(2023四川巴中中考,10,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,AB = 6 cm,BC = 8 cm,D、E分别为AC、BC中点,连接AE、BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC = 1∶2,则四边形DFEG的面积为 （ ）
A.2 cm²
B.4 cm²
C.6 cm²
D.8 cm²

答案：
如图,连接DE.
∵D、E分别为AC、BC中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB = 3 cm,DE//AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABF}}=(\frac{DE}{AB})^2=\frac{1}{4}$,$\frac{EF}{AF}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle ABF}}=\frac{EF}{AF}=\frac{1}{2}$,
∴S_{\triangle ABF}=$\frac{2}{3}$S_{\triangle ABE}=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$AB·BE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×$\frac{1}{2}$×8 = 8(cm²),
∴S_{\triangle DEF}=$\frac{1}{4}$S_{\triangle ABF}=2(cm²),
∵S_{\triangle DEC}=$\frac{1}{2}$DE·CE=$\frac{1}{2}$×3×4 = 6(cm²),DG∶GC = 1∶2,
∴S_{\triangle DEG}=$\frac{1}{3}$S_{\triangle DEC}=2(cm²),
∴S_{四边形DFEG}=S_{\triangle DEF}+S_{\triangle DEG}=4(cm²).

16.(2024内蒙古包头九原三模,12,★☆☆)如图,把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置,边BC与DF交于点H,设△HDB的面积为S₁,四边形ADHC的面积为S₂,若S₁∶S₂ = 4∶5,AB = 4,则此三角形移动的距离AD为________.(M9227005)

答案： 答案 $\frac{4}{3}$
解析 由平移的性质得DH//AC,
∴△BDH∽△BAC,
∴$\frac{S_{\triangle HDB}}{S_{\triangle CAB}}=(\frac{BD}{AB})^2$,即$\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}}=(\frac{BD}{AB})^2$,
∵S_{1}∶S_{2}=4∶5,
∴$\frac{4}{9}=(\frac{BD}{AB})^2$,
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$,
∵AB = 4,
∴BD=$\frac{8}{3}$,
∴AD = AB - BD = 4 - $\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.

17.(2024甘肃武威古浪三模,18,★☆☆)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE//AC,若S△DOE∶S△COA = 1∶25,则$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle ADE}}$ = ________.

答案： 答案 $\frac{1}{4}$
解析
∵DE//AC,
∴△DOE∽△COA,
∴$\frac{S_{\triangle DOE}}{S_{\triangle COA}}=(\frac{DE}{CA})^2=\frac{1}{25}$,
∴$\frac{DE}{CA}=\frac{1}{5}$,
∵DE//AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{DE}{CA}=\frac{1}{5}$,
∴$\frac{BD}{DA}=\frac{1}{4}$,
∴$\frac{S_{\triangle BDE}}{S_{\triangle ADE}}=\frac{BD}{DA}=\frac{1}{4}$.

18.(2021山东菏泽中考,12,★☆☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD = 5,BC = 10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为________.(M9227005)

答案： 答案 1∶3
解析
∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,
∴EF = EH = HM,EM//BC,
∴△AEM∽△ABC,
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EM}{BC}$,
∴$\frac{5 - EF}{5}=\frac{2EF}{10}$,
∴EF=$\frac{5}{2}$,
∴EM = 5,
∵△AEM∽△ABC,
∴$\frac{S_{\triangle AEM}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{EM}{BC})^2=\frac{1}{4}$,
∴S_{四边形BCME}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEM}=3S_{\triangle AEM},
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.

19.运算能力 (2024江苏镇江丹徒二模)如图,△ABC中,BC = 24,BC边上的高为18,点D、E是AB、AC边上的动点,且DE//BC,点F为BC边上的一点,连接DF、EF,则△DEF面积的最大值为________.(M9227005)

答案： 答案 54
解析 如图,过点A作AH⊥BC于点H,交DE于点G,
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AG}{AH}$,设DE = x,
∵BC = 24,BC边上的高为18,
∴$\frac{x}{24}=\frac{18 - GH}{18}$,
∴GH = -$\frac{3}{4}$x + 18,
∴S_{\triangle DEF}=$\frac{1}{2}$DE·GH=$\frac{1}{2}$x·(-$\frac{3}{4}$x + 18)=-$\frac{3}{8}$x² + 9x = -$\frac{3}{8}$(x - 12)² + 54,
∵-$\frac{3}{8}$

20.推理能力 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点C分别作AD、AB的垂线,交边AD、AB的延长线于点E、F.(M9227004、M9227005)
(1)求证:△CDE∽△CBF.
(2)求证:AD·DE = AB·BF.
(3)连接AC,如果$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$,求证:$\frac{AC²}{BC²}=\frac{AF}{BF}$.

答案：
证明
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD//AB,AD//BC,
∴∠CDE = ∠DAB,∠CBF = ∠DAB,
∴∠CDE = ∠CBF.
∵CE⊥AE,CF⊥AF,
∴∠CED = ∠CFB = 90°,
∴△CDE∽△CBF.
(2)
∵△CDE∽△CBF,
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{BC}{BF}$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC = AD,CD = AB,
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{BF}$,
∴AD·DE = AB·BF.
(3)如图,

∵$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$,∠CED = ∠CFA = 90°,
∴Rt△ACF∽Rt△CDE,
又
∵△CBF∽△CDE,
∴△ACF∽△CBF,
∴$\frac{S_{\triangle ACF}}{S_{\triangle CBF}}=(\frac{AC}{BC})^2=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}$,
∵△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等,
∴$\frac{S_{\triangle ACF}}{S_{\triangle CBF}}=\frac{AF}{BF}$,
∴$\frac{AC^{2}}{BC^{2}}=\frac{AF}{BF}$.