《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

12.(2024山东潍坊寿光二模,13,★★☆)清代《数理精蕴》中记录了一种测量底部不能到达的塔高的方法.翻译为“如图所示，先立一根长为6尺的标杆A₁B₁，量得影长B₁C₁ = 4尺，在同一时间将塔影BC所到之处作一记号.在另一时刻量得标杆影长B₁D₁ = 5尺，此时塔影所到之处与先前所作记号处之间的距离CD = 8尺”，则塔高AB = _______尺.(M9227007)
　　　　　

答案： 答案 48
解析 由题意得△A₁B₁C₁∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{B_{1}C_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，设AB = 3x尺，BC = 2x尺，则BD = BC + CD = (2x + 8)尺. 由题意得△A₁B₁D₁∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{B_{1}D_{1}}{A_{1}B_{1}}$，即$\frac{2x + 8}{3x}=\frac{5}{6}$，解得x = 16，
∴AB = 48尺.

13.(2024江苏南通模拟,16,★★☆)《海岛算经》中记载:“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合.问岛高几何.”其大意是:如图，为了求海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处竖立高都是3丈(1丈 = $\frac{5}{3}$步)的标杆CD和EF，D，F相隔1 000步，并且AB，CD和EF在同一平面内，从D处后退123步到G处时，A，C，G在一条直线上;从F处后退127步到H处时，A，E，H在一条直线上，则山峰AB的高度为_______步.(M9227007)

答案： 答案 1255
解析 根据题意得CD = EF = 5步，DF = 1000步，DG = 123步，FH = 127步，
∵CD//AB，
∴△GCD∽△GAB，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{GD}{GB}$，即$\frac{5}{AB}=\frac{123}{123 + BD}$①，
∵EF//AB，
∴△HEF∽△HAB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{HF}{HB}$，即$\frac{5}{AB}=\frac{127}{127 + 1000 + BD}$②，由①②得$\frac{123}{123 + BD}=\frac{127}{127 + 1000 + BD}$，解得BD = 30750(步)，代入①可得AB = 1255步，即山峰AB的高度为1255步.

14.[应用意识](2023陕西宝鸡陇县一模)为了开展趣味学习活动，张老师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度.如图，某一时刻树AB在太阳光照射下，一部分影子NP落在了墙MN上，另一部分树影BN落在了地面上，同一时刻，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端，同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜处.现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，ST长为9米，树影NP长为5米，BN长为21米，求树AB的高.(平面镜大小忽略不计)(M9227007)
　　　　　

答案：
解析 如图所示，过点P作PQ⊥AB，再令木杆顶端为点E，秦飞眼睛所在的位置为点F，

∵∠FCT = ∠ECS，∠ESC = ∠FTC = 90°，
∴△FTC∽△ESC，
∴$\frac{ES}{SC}=\frac{FT}{TC}$.
设SC = x米，则CT = (9 - x)米，
又FT = 1米，ES = 2米，
∴$\frac{2}{x}=\frac{1}{9 - x}$，解得x = 6.
由太阳光线同时刻平行可得△ESC∽△AQP，
∴$\frac{ES}{SC}=\frac{AQ}{QP}$，即$\frac{2}{6}=\frac{AQ}{21}$，
∴AQ = 7米，
∵BQ = NP = 5米，
∴AB = AQ + BQ = 12米.
答：树AB的高为12米.