《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

8.[等角转化法]新独家原创如图,

菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O,DH⊥AB于H.若DB=6,sin∠OAB=$\frac{3}{5}$,则DH=(M9228004) ( )
A.$\frac{12}{5}$ B.$\frac{18}{5}$ C.$\frac{24}{5}$ D.5

答案： C
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O,
∴∠AOB=90°,
∴∠OAB+∠OBA=90°.
∵DH⊥AB,
∴∠BHD=90°,
∴∠BDH+∠DBH=90°,
∴∠OAB=∠BDH.在Rt△BDH中,sin∠BDH=$\frac{BH}{BD}$,
∵sin∠OAB=$\frac{3}{5}$,DB=6,
∴$\frac{BH}{6}$=$\frac{3}{5}$，
∴BH=$\frac{18}{5}$.
∴DH=$\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}$=$\sqrt{6^{2}-\left(\frac{18}{5}\right)^{2}}$=$\frac{24}{5}$.故选C.
.方法解读
等角转化法:在解与锐角三角函数相关的题时，可通过“平行线等角转换”“等腰三角形等角转换”“全等三角形等角转换”“相似三角形等角转换”“平行四边形等角转换”“同弧所对圆周角等角转换”等，将已知或所求角的锐角三角函数转化为其等角的锐角三角函数.

9.(2023江苏常州二模)如图,

在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4$\sqrt{3}$,BC=$\sqrt{3}$,则AD的长是________.(M9228004)

答案：
答案　6
解析　如图，延长AB、DC相交于点E,在△ADE中，
∵∠A=90°,∠D=60°,
∴∠E=30°.在Rt△BEC中,
∵∠BCE=90°,∠E=30°,BC=$\sqrt{3}$,
∴BE=2BC=2$\sqrt{3}$,
∴AE=AB+BE=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$.在Rt△ADE 中,
∵∠A=90°,∠E=30°,AE=6$\sqrt{3}$，
∴AD=AE·tanE=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=6.

10.[方程思想](2022四川凉山州中考)如图,

☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=$\frac{4}{5}$,BD =5,则☉O的半径为________.

答案：
答案　$\frac{25}{6}$
解析　如图，连接OD,
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H,
∴AB⊥CD,
∴∠OHD=∠BHD=90°.
∵cos∠CDB=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{4}{5}$,BD=5,
∴DH=4,
∴BH=3.设OH=x,则OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理,得x²+4²=(x+3)²,解得x=$\frac{7}{6}$，
∴OD=x+3=$\frac{7}{6}$+3=$\frac{25}{6}$.

11.(2024湖南衡阳衡南期中)如图,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB于点E,连接CE.(M9228004)
(1)求BE的长.
(2)求tan∠ECB的值.

答案：
解析　
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B=45°,
∵AC=BC=3,AD=2CD,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{2}$,AD=2,CD=1,
∴AE=ADcos45°=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB−AE=2$\sqrt{2}$;
(2)如图,作EF⊥BC于F,则EF=BEsin45°=2,BF=BEcos45°=2,
∴CF=BC−BF=1,
∴tan∠ECB=$\frac{EF}{CF}$=2.

12.(2024甘肃临夏州中考,8,★☆☆)如图,

在△ABC中,AB=AC=5,sin B=$\frac{4}{5}$,则BC的长是 ( )
A.3 B.6 C.8 D.9

答案：
B如图,过点A作BC的垂线,垂足为M,在Rt△ABM中,sinB=$\frac{AM}{AB}$，
∴AM=5×$\frac{4}{5}$=4,
∴BM=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∵AB=AC,
∴BC=2BM=6.故选B.

13.(2024陕西西安雁塔模拟,4,★☆☆)如图,

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=7,tan B=$\frac{4}{3}$,将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C',若AB'平分∠BAC,则B'C的长为 ( )
A.$\frac{16}{3}$ B.$\frac{20}{3}$ C.$\frac{28}{3}$ D.$\frac{35}{3}$

答案： B　由平移得AB//A'B',
∴∠BAC=∠B'EC=90°,∠BAB'=∠AB'E,∠B=∠A'B'C,
∵tanB=$\frac{4}{3}$,
∴在Rt△B'EC中,tan∠EB'C=tanB=$\frac{EC}{B'E}$=$\frac{4}{3}$，
∴设EC=4x,则B'E=3x,
∴B'C=$\sqrt{EC^{2}+B'E^{2}}$=$\sqrt{(4x)^{2}+(3x)^{2}}$=5x,
∵AB'平分∠BAC,
∴∠BAB'=∠B'AC,
∴∠AB'E=∠B'AC,
∴AE=EB'=3x,在Rt△ABC中,AB=7,
∴tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3x+4x}{7}$=$\frac{4}{3}$,解得x=$\frac{4}{3}$，
∴B'C=5x=$\frac{20}{3}$.故选B.

14.(2023山西太原二模,10,★★☆)如图,

在△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=4$\sqrt{3}$,点D为边AC上一点,点F在BC的延长线上,BC=2CF.若四边形DCFE是平行四边形,连接BD,AE,BE,则图中阴影部分的面积为(M9228004) ( )
A.24 B.12 C.8 D.6

答案：
B如图,过点A作AH⊥BC于点H,在Rt△ABH中,AH=AB·sin∠ABH=8×sin60°=4$\sqrt{3}$,
∵BC=2CF,BC=4$\sqrt{3}$,
∴CF=2$\sqrt{3}$,
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴DE=CF=2$\sqrt{3}$,
∴S阴=S△ADE+S△DEB=$\frac{1}{2}$DE·AH=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$=12.故选B.

15.(2022四川乐山中考,9,★★☆)如图,

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=$\sqrt{5}$,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=$\frac{1}{2}$,tan∠ABD=$\frac{1}{3}$,则CD的长为 ( )
A.2$\sqrt{5}$ B.3
C.$\sqrt{5}$ D.2

答案：
C如图,过D点作DE⊥AB于E,
∵tanA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$,tan∠ABD=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=2DE,BE=3DE,
∴2DE+3DE=5DE=AB,即DE=$\frac{1}{5}$AB,在Rt△ABC中,tanA=$\frac{1}{2}$,BC=$\sqrt{5}$,
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=5,
∴DE=1,
∴AE=2,
∴AD=$\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴CD=AC−AD=$\sqrt{5}$.故选C.

16.(2024四川泸州叙永模拟,10,★★☆)如图,

∠ACB=90°,AC=10,OB=17,cos∠OBC=$\frac{3}{5}$,则点C的坐标为(M9228004) ( )
A.(8,$\frac{27}{4}$) B.(8,12)
C.(6,$\frac{33}{4}$) D.(6,10)

答案：
B如图,过点C作CD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥y轴于点E,
∵∠ACB=90°,∠AOB=90°,
∴∠OBC+∠OAC=180°,
∵∠EAC+∠OAC=180°,
∴∠EAC=∠OBC,
∴cos∠OBC=cos∠EAC=$\frac{EA}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
∵AC=10,
∴EA=6,
∴EC=$\sqrt{AC^{2}-EA^{2}}$=8,
∴OD=EC=8,
∵OB=17,
∴BD=9,
∵cos∠OBC=$\frac{BD}{CB}$=$\frac{3}{5}$，
∴CB=15,
∴CD=$\sqrt{CB^{2}-DB^{2}}$=$\sqrt{15^{2}-9^{2}}$=12,
∴C(8,12).故选B.