《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

18.(新考向·项目式学习试题)(10分)(2024甘肃嘉峪关期末)下面是小明进行数学学科项目化学习的内容.
项目主题：测量河流的宽度.
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板，……，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度.
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据.
　
请你参与这个项目学习，并完成下列任务.(M9227007)
(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB.
(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识：________________(写出一条即可).
(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下.

答案：
解析
(1)由题知BC//DE，
∴△ABC∽△ADE.
∴AB/AD = BC/DE，
又BC = 1.6 m，BD = 10 m，DE = 2.0 m，
∴AB/(AB + 10) = 1.6/2.0，
解得AB = 40 m.
答：河流的宽度AB为40 m.
(2)相似三角形的对应边成比例(答案不唯一，合理即可).
(3)(答案不唯一，合理即可)如图，在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸走一段距离，到达C处，在C处竖立一标杆，然后继续行走，走到D处，使得CD = BC，再沿着与河岸垂直的方向行走，当走到与A、C共线时停下，位置记为E，这时DE的长度即为河流的宽度.

19.(14分)(2024海南儋州期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，点P沿线段AB按A→B方向向终点B运动，点Q沿线段BC按B→C方向向终点C运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t(t＞0)秒，请解答下列问题：
(1)如图1，当t为何值时，PQ//AC？
(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
(3)如图2，点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PCQ的面积等于4？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
　　　　 　

答案：
解析
(1)当PQ//AC时，△BPQ∽△BAC，
∴BP/AB = BQ/BC.
∵AB = AC = 10，BC = 12，BP = 10 - t，BQ = 2t，
∴(10 - t)/10 = 2t/12，解得t = 15/4，
∴当t = 15/4时，PQ//AC.
(2)
∵∠ABC = ∠PBQ，
∴分以下两种情况：
①△PBQ∽△ABC，同
(1)可得t = 15/4；
②△QBP∽△ABC，
由BQ/AB = BP/BC，得2t/10 = (10 - t)/12，解得t = 50/17.
综上，当t = 15/4或t = 50/17时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似.
(3)存在.
如图，过P作PE⊥BC，垂足为E，作△ABC的BC边上的高AD，

∵AB = AC = 10，BC = 12，
∴BD = CD = 1/2BC = 6，
∴AD = √(AB² - BD²) = 8，
∵∠BEP = ∠ADB = 90°，∠B = ∠B，
∴△PBE∽△ABD，
∴BP/AB = PE/AD，即(10 - t)/10 = PE/8，
∴PE = 8 - 4t/5，
∴S△PCQ = 1/2×CQ×PE = 1/2×(12 - 2t)×(8 - 4t/5) = 4，
解得t = 5或t = 11，
当t = 5时，经检验符合题意，
当t = 11时，BQ = 22＞BC，故不合题意，
∴t = 5.