《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

1. [方程思想](2024四川南充三模)如图，一次函数$y =x + 4$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k \neq 0$）的图象交于$A(-1,a)$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$.
(1)求此反比例函数的表达式.
(2)连接$BO$，若点$P$在$x$轴的正半轴上，且$S_{\triangle ACP}=4S_{\triangle BOC}$，求点$P$的坐标.

答案： 解析
(1)把A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(-1,3),
把A(-1,3)代入反比例函数y = $\frac{k}{x}$,得k=-3,
∴反比例函数的表达式为y = -$\frac{3}{x}$.
(2)联立两个函数的表达式得$\begin{cases}y=x+4,\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$,
解得$\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}$,
∴B(-3,1).
对于y=x+4,令y=0,得x=-4,
∴C(-4,0).
设点P的坐标为(x,0)(x＞0),
∵$S_{\triangle ACP}=4S_{\triangle BOC}$,
∴$\frac{1}{2}|x + 4|\times3 = 4\times\frac{1}{2}\times4\times1$,
解得$x_1=\frac{4}{3}$,$x_2=-\frac{28}{3}$(舍去),
∴P($\frac{4}{3}$,0).

2. [和差法](2024四川遂宁中考)如图，一次函数$y_1 = kx + b(k \neq 0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{m}{x}(m \neq 0)$的图象相交于$A(1,3)$，$B(n,-1)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)根据图象，直接写出$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围.
(3)过点$B$作直线$OB$，交反比例函数图象于点$C$，连接$AC$，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 解析
(1)将A点坐标代入反比例函数解析式得m=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{3}{x}.$将B点坐标代入$y = \frac{3}{x}$得n=-3,
∴点B的坐标为(-3,-1).
将A,B两点坐标代入一次函数解析式得$\begin{cases}k + b = 3\\-3k + b = -1\end{cases},$解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases},$
∴一次函数的解析式为y=x+2.
(2)由函数图象可知,当$-3y_2,$
∴当$y_1＞y_2$时,x的取值范围是-3

3. (2024江苏徐州沛县期末)如图，一次函数$y = x + 8$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象交于$A(a,6)$，$B(-6,b)$两点.
(1)求此反比例函数的表达式.
(2)在$y$轴上存在点$P$，使得$AP + BP$的值最小，求$AP + BP$的最小值.
(3)$M$为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点，$N$为$x$轴上一点，是否存在点$M$、$N$，使$\triangle MBN$是以$MN$为底边的等腰直角三角形？若存在，请求出$M$点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
解析
(1)将A(a,6)代入y=x+8得6=a+8,
解得a=-2,
∴A(-2,6),
将A(-2,6)代入y = $\frac{k}{x}$得k=-12,
即反比例函数的表达式为y = -$\frac{12}{x}$.
(2)将x=-6代入y = -$\frac{12}{x}$,得y=2,
∴B点坐标为(-6,2).
如图,作点A关于y轴的对称点A'(2,6),连接A'B交y轴于点P,连接AP,此时AP+BP的值最小,
AP+BP的最小值 = A'B = $\sqrt{[2-(-6)]^2+(6 - 2)^2}=4\sqrt{5}$.

(3)存在.
设M(m,-$\frac{12}{m}$),N(n,0),
当点M在点B的右侧时,如图:

过点B作直线BF⊥x轴于点F,交过点M且与x轴平行的直线于点H,
∵$\triangle MBN$是以MN为底边的等腰直角三角形,
∴$\angle MBN = 90^{\circ}$,MB=NB,
∴$\angle FBN+\angle HBM = 90^{\circ}$,又
∵$\angle HBM+\angle HMB = 90^{\circ}$,
∴$\angle FBN=\angle HMB$,
∵$\angle MHB=\angle BFN = 90^{\circ}$,MB=NB,
∴$\triangle MHB\cong\triangle BFN(AAS)$,
∴HM=BF,HB=FN,
即m-(-6)=2-0且-$\frac{12}{m}$-2=n-(-6),
解得m=-4,n=-5,
∴M(-4,3);
当点M在点B左侧时,如图:

同理可得$\triangle MHB\cong\triangle BFN(AAS)$,
∴HM=BF,HB=FN,
即2-(-$\frac{12}{m}$)=n-(-6)且-6-m=2-0,
解得m=-8,n=-$\frac{11}{2}$,
∴M(-8,$\frac{3}{2}$),
综上,M的坐标为(-4,3)或(-8,$\frac{3}{2}$).