《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

1.（2024 四川绵阳游仙三模）如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四个点，
　　　　　　　　　　　　
AB = AC，AD 交 BC 于点 E，AE = 4，ED = 4，则 AB 的长为（ ）
A.4 B.2√3 C.4√2 D.3√5

答案： ①C
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
∵∠ACB = ∠D，
∴∠ABC = ∠D，又∠BAE = ∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴$AB^{2}=AE\cdot AD = 4\times(4 + 4)=32$，
∴$AB = 4\sqrt{2}$.故选C.

2.（2024 四川资阳中考）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点 D 在⊙O 外，延长 DC，AB 相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，交 AC 于点 G，DG = DC.
（1）求证：DE 是⊙O 的切线.
（2）若⊙O 的半径为 6，点 F 为线段 OA 的中点，CE = 8，求 DF 的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：
②解析 （1）证明：如图，连接OC，

∵DG = DC，
∴∠DGC = ∠DCG，
∵∠DGC = ∠AGF，
∴∠DCG = ∠AGF，
∵DF⊥AB，
∴∠AFG = 90°，
∴∠A + ∠AGF = 90°，
∵OC = OA，
∴∠A = ∠ACO，
∴∠DCG + ∠ACO = 90°，
∴∠DCO = 90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）由（1）知，∠OCE = 90°，
∵OC = 6，CE = 8，
∴$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}} = 10$，
∵OA = 6，点F为线段OA的中点，
∴$OF=\frac{1}{2}OA = 3$，
∴EF = 13，
∵∠DFE = ∠OCE = 90°，∠E = ∠E，
∴△OCE∽△DFE，
∴$\frac{CE}{EF}=\frac{OC}{DF}$，
∴$\frac{8}{13}=\frac{6}{DF}$，
∴$DF=\frac{39}{4}$.

3.（2024 甘肃武威民勤三模）如图，△ABC 内接于⊙O，已知 AB是⊙O 直径，AB = 2，∠ABC = 30°，点 D 在直径 AB 上方的半圆上运动，连接 CD 交 AB 于点 E，则$\frac{DE}{CE}$的最大值为_______.（M9227004）

答案：
③答案 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析 连接OD，作DL⊥AB于点L，CF⊥AB于点F，
则DL//CF，
∴△DEL∽△CEF，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DL}{CF}$，
∵CF为定值，
∴当DL的值最大时，$\frac{DL}{CF}$的值最大，此时$\frac{DE}{CE}$的值最大，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∵AB = 2，∠ABC = 30°，
∴$AC=\frac{1}{2}AB = 1$，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2CF=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}$，
∴$CF=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DL≤OD，且$OD=\frac{1}{2}AB = 1$，
∴DL≤1，
∴$DL_{最大}=1$，
∵当DL = 1时，$\frac{DE}{CE}=\frac{DL}{CF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DE}{CE}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4.（2024 广西南宁一模）如图，已知△ABC，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，连接 AD，∠B = ∠CAD，作∠ACB 的平分线，交 AD 于点 E，交 AB 于点 F.（M9227004）
（1）求证：AC 是⊙O 的切线.
（2）求证：$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BF}$.
　　　　　　　　　　　

答案：
④证明 （1）
∵以AB为直径作⊙O交BC于点D，
∴∠ADB = 90°，
∴∠B + ∠BAD = 90°，
∵∠B = ∠CAD，
∴∠BAC = ∠CAD + ∠BAD = 90°，
∴AC⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线.
（2）如图，过点F作FH⊥BC于点H，

∵CF平分∠ACB，AC⊥OA，FH⊥BC，
∴AF = HF，
∵∠B = ∠B，∠BHF = 90° = ∠ADB，
∴△BHF∽△BDA，
∴$\frac{FH}{BF}=\frac{AF}{BF}=\frac{AD}{AB}$，
∵∠B = ∠B，∠CAB = 90° = ∠ADB，
∴△ABC∽△DBA，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BF}$.

5.（2024 安徽合肥模拟）如图，已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A，B 均在⊙O 上，边 BC 与⊙O 相交于点 E，OA⊥AD，连接 AC 交⊙O 于点 F，延长 AO 交 BE 于点 G.（M9227004）
（1）若平行四边形 ABCD 的面积为 80，BE = 8，CE = 2，求 OA 的长.
（2）求证：CD² = AC·AF.
　　　　　　　　　　

答案：
⑤解析 （1）如图，连接OB，
∵BE = 8，CE = 2，
∴BC = BE + CE = 8 + 2 = 10，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∵OA⊥AD，
∴∠AGB = ∠DAG = 90°，
∴AG⊥BE，
∴$BG = EG=\frac{1}{2}BE = 4$，
∵平行四边形ABCD的面积为80，
∴BC·AG = 10AG = 80，
∴AG = 8，
∵$OG^{2}+BG^{2}=OB^{2}$，且OG = 8 - OA，OB = OA，
∴$(8 - OA)^{2}+4^{2}=OA^{2}$，解得OA = 5，
∴OA的长是5.

（2）证明：如图，连接AE、BF，由（1）知，AG垂直平分BE，
∴AE = AB，
∴∠ABC = ∠AEB，
∵∠AFB = ∠AEB，
∴∠AFB = ∠ABC，
∵∠FAB = ∠BAC，
∴△FAB∽△BAC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$，
∴$AB^{2}=AC\cdot AF$，
∵AB = CD，
∴$CD^{2}=AC\cdot AF$.