《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

5.(2024安徽池州青阳期末)如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为(M9228005) （ ）
　　　　　　　　
A.(80$\sqrt{3}$+80)米
B.(40$\sqrt{3}$+40)米
C.(120-40$\sqrt{3}$)米
D.(40$\sqrt{3}$-40)米

答案：
B 如图，过点B作BD⊥直线CA于D，设BD = x米，由题易得∠BCA = 30°，∠BAD = 45°，
∴CD = $\frac{BD}{\tan 30^{\circ}}$ = $\sqrt{3}x$米，AD = BD = x米，则$\sqrt{3}x - x = 80$，解得x = 40$\sqrt{3}$ + 40，即这段河的宽度为(40$\sqrt{3}$ + 40)米. 故选B.

6.(2024湖南长沙雨花模拟)校车安全是社会关注的重大问题，安全隐患主要来自超速和超载.某校数学活动小组设计了一个检测公路上汽车行驶速度的试验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的公路l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD长为15米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD = 30°，∠CBD = 60°.(M9228005)
(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73).
(2)已知本路段对校车限速30千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由.
　　　　　　　　　　

答案： 解析 （1）由题意得∠ADC = 90°，
∵∠CAD = 30°，∠CBD = 60°，
∴∠ACB = 30°，∠BCD = 30°，
∴AB = BC，BC = 2BD，在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD² + CD² = BC²，即BD² + 15² = (2BD)²，解得BD = 5$\sqrt{3}$米，
∴BC = 10$\sqrt{3}$米，
∴AB = 10$\sqrt{3}$≈17.3（米），即AB的长为17.3米. （2）超速了，理由如下：
∵校车从A到B用时2秒，
∴速度为17.3÷2 = 8.65（米/秒），
∵30千米/小时 = $\frac{25}{3}$米/秒

7.(情境题·国防科技) (2023湖北武汉江汉模拟)如图，一枚火箭从地面O处成功发射，当火箭到达点A处时，地面D处的雷达站测得AD = 4 000米，仰角为30°，3秒后，火箭竖直上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知点O，C，D在同一直线上，C，D两处相距460米，则火箭从A处上升到B处的平均速度为________米/秒.(结果精确到1米/秒，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414)(M9228005)
　　　　　　　　　　　

答案： 答案 335
解析 由题意，得BO⊥OD，在Rt△AOD中，AD = 4 000米，∠ADO = 30°，
∴AO = $\frac{1}{2}AD = 2 000$米，OD = $\sqrt{3}OA = 2 000\sqrt{3}$米，
∵CD = 460米，
∴OC = OD - CD = (2 000$\sqrt{3}$ - 460)米，在Rt△BOC中，∠BCO = 45°，
∴BO = OC·tan 45° = (2 000$\sqrt{3}$ - 460)米，
∴AB = BO - AO = 2 000$\sqrt{3}$ - 460 - 2 000≈1 004（米），
∴火箭从A处上升到B处的平均速度 = $\frac{1 004}{3}$≈335（米/秒）.

8.(2024山东济南历城一模)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一个高为DE的观景台，已知CD = 8 m，CD的坡度i = 1 : $\sqrt{3}$，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.(参考数据：tan 27°≈0.5，$\sqrt{3}$≈1.7) (M9228005)
(1)求DE的长.
(2)求塔AB的高度.(结果精确到1 m)
　　　　　　　　

答案：
解析 （1）由题意得DE⊥EC，在Rt△DEC中，tan∠DCE = $\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DCE = 30°，
∵CD = 8 m，
∴DE = $\frac{1}{2}CD = 4$ m，
∴DE的长为4 m. （2）如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，易得DF = EA，DE = FA = 4 m，CE = 4$\sqrt{3}$ m，设AC = x m，
∴DF = AE = CE + AC = (x + 4$\sqrt{3}$) m，在Rt△ACB中，∠BCA = 45°，
∴AB = AC·tan 45° = x m，在Rt△BDF中，∠BDF = 27°，
∴BF = DF·tan 27°≈0.5(x + 4$\sqrt{3}$) m，
∵BF + AF = AB，
∴0.5(x + 4$\sqrt{3}$) + 4 = x，解得x = 4$\sqrt{3}$ + 8，
∴AB = (4$\sqrt{3}$ + 8) m≈15 m，
∴塔AB的高度约为15 m.