《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

15.(8分)计算：(M9228002)
(1)2sin 30° + 3cos 60° - 4tan 45°.
(2)$\cos^{2}30^{\circ} + \sin^{2}45^{\circ} - \tan 60^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}$.

答案： 15解析 （1）原式$=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1=1+\frac{3}{2}-4=-\frac{3}{2}$.
（2）原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}$.

16.(10分)(2024浙江中考)如图，在△ABC中，AD ⊥ BC，AE是BC边上的中线，AB = 10，AD = 6，tan ∠ACB = 1.
(1)求BC的长.
(2)求sin ∠DAE的值.

答案： 16解析 （1）
∵$AD\perp BC$，$AB = 10$，$AD = 6$，
∴$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
∵$\tan\angle ACB = 1$，
∴$CD = AD = 6$，
∴$BC = BD + CD = 8 + 6 = 14$.
（2）
∵$AE$是$BC$边上的中线，
∴$CE=\frac{1}{2}BC = 7$，
∴$DE = CE - CD = 7 - 6 = 1$，
∵$AD\perp BC$，
∴$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$，
∴$\sin\angle DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.

17.(10分)(2023辽宁本溪中考)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.如图，他们需要登顶600 m高的山峰，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平线BE的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE.
(2)若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要的时间(结果精确到0.1 min).
(参考数据：sin 53° ≈ 0.80，cos 53° ≈ 0.60，tan 53° ≈ 1.33)

答案：
17解析 （1）如图，过点$B$作$BM\perp AF$于点$M$，由题可知，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle DBE = 53^{\circ}$，$DF = 600$ m，$AB = 300$ m，
在$Rt\triangle ABM$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 300$ m，
∴$BM=\frac{1}{2}AB = 150$ m，
∴$EF = BM = 150$ m，
∴$DE = DF - EF = 600-150 = 450$（m）.答：登山缆车上升的高度$DE$为 450 m.
（2）在$Rt\triangle BDE$中，$\angle DBE = 53^{\circ}$，$DE = 450$ m，
∴$BD=\frac{DE}{\sin\angle DBE}\approx\frac{450}{0.80}=562.5$（m），
∴需要的时间 = 步行时间 + 乘坐缆车时间$=\frac{300}{30}+\frac{562.5}{60}\approx19.4$（min）.答：从山底$A$处到达山顶$D$处大约需要 19.4 分钟.