《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

11.(2024四川乐山犍为模拟,8,)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于$\frac{1}{2}$BC 的长为半径作弧,两弧相交于 点M和N;②作直线MN交边 AB于点E.若AC = 5,BE = 4, ∠B = 45°,则cos A =(M9228001) ( )
　　　　　　　　　　　　
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案：
如图，连接CE，由作法得MN垂直平分BC，$\therefore EB = EC = 4$，$\therefore \angle ECB = \angle B = 45^{\circ}$，$\therefore \angle AEC = \angle B + \angle ECB = 90^{\circ}$. 在Rt△ACE中，$\because AC = 5$，EC = 4，$\therefore AE = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，$\therefore \cos A=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$，故选A.

12.(2024陕西咸阳秦都一模,5,)在Rt△ABC中, AC = 8,BC = 6,则cos A的值等于(M9228001) ( )
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
C.$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{4}{5}$或$\frac{2\sqrt{7}}{7}$

答案： Rt△ABC中，AC = 8，BC = 6，则BC

13.情境题·数学文化(2022湖南湘潭中考,8,)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形的面积与每个直角三角形的面积均为1,α为直角三角形中的一个锐角,则tan α= ( )
　
A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

答案： 由已知可得，大正方形的面积为1×4 + 1 = 5，设直角三角形的长直角边的长为a，短直角边的长为b，则$a^{2}+b^{2} = 5$，$a - b = 1$，解得a = 2，b = 1或a = -1，b = -2(不合题意，舍去)，$\therefore \tan \alpha=\frac{a}{b}=\frac{2}{1}=2$，故选A.

14.(2022湖北荆州中考,9,)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC = 1∶2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于P. 若P(1,1),则tan∠OAP的值是 ( )
　　　　　　　　　　　　
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3

答案：
如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，$\because OP// AB$，$\therefore \triangle OCP\sim\triangle BCA$，$\therefore CP:AC = OC:BC = 1:2$，$\because \angle AOC = \angle AQP = 90^{\circ}$，$\therefore CO// PQ$，$\therefore OQ:AO = CP:AC = 1:2$，$\because P(1,1)$，$\therefore PQ = OQ = 1$，$\therefore AO = 2$，$\therefore \tan \angle OAP=\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{2 + 1}=\frac{1}{3}$，故选C.

15.(2024山东济南历城期末,13,)如图,有6个大小相同的小正方形,恰好放置在△ABC中,则tan B的值等于________.(M9228001)
　　　　　　

答案：
答案 $\frac{1}{2}$。解析 如图，FH//BC，$\therefore \angle B = \angle EFH$，$\therefore \tan B = \tan \angle EFH=\frac{EH}{FH}=\frac{1}{2}$.

16.(2023四川内江中考,23,)在△ABC中,∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a²+|c - 10| +$\sqrt{b - 8}$ = 12a - 36,则sin B的值为________.

答案： 答案 $\frac{4}{5}$。解析 $\because a^{2}+\vert c - 10\vert+\sqrt{b - 8} = 12a - 36$，$\therefore (a - 6)^{2}+\vert c - 10\vert+\sqrt{b - 8} = 0$，$\therefore a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，$\therefore a = 6$，$c = 10$，$b = 8$，$\because 6^{2}+8^{2} = 10^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，∠C = 90°，$\therefore \sin B=\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

17.推理能力(2024内蒙古包头一模)
【实践探究】如图1,在Rt△ABC中,∠C = 90°, AC = 2,BC = 1,求tan $\frac{1}{2}$∠BAC的值.
小邕构造了包含$\frac{1}{2}$∠BAC的直角三角形:延长CA到点D,使DA = AB,连接BD,可得∠D = $\frac{1}{2}$∠BAC,问题即转化为求∠D的正切值,请按小邕的思路求tan $\frac{1}{2}$∠BAC的值.
【拓展延伸】如图2,在Rt△ABC中,∠C = 90°, AC = 3,tan A = $\frac{1}{3}$,求tan 2∠A的值.
　 　　

答案：
解析 【实践探究】在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，$\therefore AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$，则AD = AB = $\sqrt{5}$，$\therefore CD = AD + AC = \sqrt{5}+2$，$\therefore \tan \frac{1}{2}\angle BAC=\tan D=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\sqrt{5}-2$.【拓展延伸】如图，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则AE = BE，$\therefore \angle A = \angle ABE$，$\therefore \angle BEC = 2\angle A$，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，$\therefore BC = 1$，设AE = BE = x，则EC = 3 - x，在Rt△EBC中，$x^{2}=(3 - x)^{2}+1$，解得$x = \frac{5}{3}$，$\therefore EC = \frac{4}{3}$，$\therefore \tan 2\angle A=\tan \angle BEC=\frac{BC}{CE}=\frac{3}{4}$.