《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版》

21.［答案含评分细则］(12分)(2024广东揭阳期末)直线y = x + b与x轴交于点C(4,0)，与y轴交于点B，并与双曲线y = $\frac{m}{x}$(x＜0)交于点A(-1,n)，连接OA.
(1)求直线与双曲线的解析式.
(2)在直线AC上存在点M(点M不与点A重合)，使得S_{△OCM}=S_{△AOC}，求点M的坐标.
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解析
(1)
∵直线y = x + b与x轴交于点C(4,0)，
∴把C(4,0)代入y = x + b得b = -4，
∴直线的解析式是y = x - 4. ………………………… 1分
∵直线也过A点，
∴把A(-1,n)代入y = x - 4可得n = -5，
∴A(-1,-5)， ………………………… 2分把A(-1,-5)代入y = $\frac{m}{x}$(x

22.［答案含评分细则］(14分)(2023湖北黄冈中考)
【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB = ∠DCE = 90°，CB = mCA，CE = mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.
【问题探究】
(1)如图1，当m = 1时，直接写出AD，BE的位置关系：________.
(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
【拓展应用】
(3)当m = $\sqrt{3}$，AB = 4$\sqrt{7}$，DE = 4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长.

答案：
解析
(1)AD⊥BE. ………………………… 4分提示:如图1，设BE的延长线交AC于点H，交AD于N， 当m = 1时，DC = CE，CB = CA，
∵∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠DAC = ∠CBE，
∵∠CAB + ∠ABE + ∠CBE = 90°，
∴∠CAB + ∠ABE + ∠DAC = 90°，
∴∠ANB = 90°，
∴AD⊥BE.
(2)
(1)中的结论成立， ………………………… 5分证明如下:如图2，设BE的延长线交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴∠ACD = ∠BCE.又
∵$\frac{DC}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{m}$，
∴△DCA∽△ECB， ………………………… 6分
∴∠DAC = ∠CBE.
∵∠CAB + ∠ABE + ∠CBE = 90°，
∴∠CAB + ∠ABE + ∠DAC = 90°，
∴∠ANB = 90°，
∴AD⊥BE. ………………………… 8分
(3)当点E在线段AD上时，如图3，
∵△DCA∽△ECB，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=m = $\sqrt{3}$，
∴BE = $\sqrt{3}$AD = $\sqrt{3}$(4 + AE)， ………………………… 9分
∵AD⊥BE，
∴AB² = AE² + BE²，
∴112 = AE² + 3(4 + AE)²，
∴AE = 2或AE = -8(舍去)，
∴BE = 6$\sqrt{3}$. ………………………… 11分当点D在线段AE上时，如图4，
∵△DCA∽△ECB，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=m = $\sqrt{3}$，
∴BE = $\sqrt{3}$AD = $\sqrt{3}$(AE - 4).…………………… 12分
∵AD⊥BE，
∴AB² = AE² + BE²，
∴112 = AE² + 3(AE - 4)²，
∴AE = 8或AE = -2(舍去)，
∴BE = 4$\sqrt{3}$.综上所述，BE = 6$\sqrt{3}$或BE = 4$\sqrt{3}$. ……………… 14分