《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [四川成都树德中学 2025 高一月考]已知边长为 2 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{AE}=$(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
1.B【解析】因为点E,F分别为AB,BC的中点，

所以$\vert\overrightarrow{AE}\vert=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert=1$，$\vert\overrightarrow{AF}\vert=$$\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{5}$，$\cos\angle FAB=\frac{2}{\sqrt{5}}$，则$\overrightarrow{AF}·$$\overrightarrow{AE}=\sqrt{5}×1×\frac{2}{\sqrt{5}}=2$.故选B.
多种解法由$\vert\overrightarrow{AE}\vert=1$，且$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{AE}$上的投影向量的模为2，所以$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{AE}=1×2=2$.故选B.
规律方法　向量的数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据向量数量积的运算律求解，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.

2. (多选)下列说法不正确的有(ABD)

A.$a· b = 0\Rightarrow a = 0$ 或 $b = 0$
B.$(a· b)c = a(b· c)$
C.已知 $a,b$ 为非零向量，且 $|a + b| = |a| + |b|$，则 $a$ 与 $b$ 方向相同
D.若 $a· b\lt0$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是钝角

答案： 2.ABD【解析】对于A，由$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$可得$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，故A错误；
对于B，向量的数量积不满足结合律，故B错误；
对于C，由$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为非零向量，且$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{a}\vert+\vert\boldsymbol{b}\vert$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$方向相同，故C正确；
对于D，当$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$反向时，有$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0$，此时$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角不是钝角，故D错误.
➠悟：当$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0$时，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是钝角或平角
故选ABD.
名师点拨
(1)若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$均为非零向量，且$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}$，得不到$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$.
(2)当$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$均为非零向量时，$(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}\neq\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})$，因为$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}$的结果是实数，不是向量，所以$(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$与向量$\boldsymbol{c}$共线，$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})$与向量$\boldsymbol{a}$共线，因此$(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})$在一般情况下不成立.
(3)$(\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}\pm2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$.

3. [湖北荆州 2025 高一期中]已知向量 $|a| = 2$，$b$ 在 $a$ 上的投影向量 $-2a$，则 $a· b =$(A)

A.$-8$
B.8
C.4
D.$-4$

答案： 3.A【解析】根据数量积的几何意义，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$等于$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量的数量积，
➠敲黑板：求数量积的几何法
故$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}·(-2\boldsymbol{a})=-8$.故选A.

4. 已知 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心为 $O$，半径为 2，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{0}$ 且 $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{AB}|$，则向量 $\overrightarrow{CA}$ 在 $\overrightarrow{CB}$ 上的投影向量的模为$\sqrt{3}$。

答案：
4.$\sqrt{3}$【解析】如图，因为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=0$，所以$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AC}=0$，

所以$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CA}$，则四边形ABOC为平行四边形.
又O为$\triangle ABC$外接圆的圆心，且$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert=2$，
所以$\triangle OAB$是边长为2的正三角形，所以平行四边形ABOC是边长为2的菱形且$\angle ABO=60^{\circ}$，
所以$\vert\overrightarrow{CA}\vert=2$，$\angle ACB=30^{\circ}$，
故向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$上的投影向量的模为
➠巧思：设两条对角线交点为D，投影向量的模为CD的长
$\vert\overrightarrow{CA}\vert\cos\angle ACB=2\cos30^{\circ}=\sqrt{3}$.

5. 已知向量 $a,b$ 满足 $|a| = 2|b| = 2$，$|a + b| = \sqrt{7}$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为(B)

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 5.B【解析】由$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{7}$，得$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=7$，即$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=7$，则$\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}+2\vert\boldsymbol{a}\vert·\vert\boldsymbol{b}\vert\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle+\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=7$，又$\vert\boldsymbol{a}\vert=2\vert\boldsymbol{b}\vert=2$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{1}{2}$，又$0^{\circ}\leq\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\leq180^{\circ}$，所以$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$.故选B.

6. [广西南宁二中 2025 高一期中]已知向量 $a,b,c$ 满足：$|a| = |b| = 1$，$|c| = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $a + b = 2c$，则 $a$ 与 $c$ 的夹角为(A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： 6.A【解析】由$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{c}$两边平方可得$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{c}^{2}$，
➠悟：之所以要平方，是因为平方之后可以出现$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积的形式
又$\vert\boldsymbol{a}\vert=\vert\boldsymbol{b}\vert=1$，$\vert\boldsymbol{c}\vert=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$1+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+1=3\Rightarrow\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\boldsymbol{a}·\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\frac{\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert}=\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle\in[0,\pi]$，所以$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\frac{\pi}{6}$.故选A.
规律方法求两个向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角，需要先求出它们的数量积和模，设它们的夹角为$\theta$，然后利用公式$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}$进行计算.

7. [河北石家庄一中 2025 高一期中]已知向量 $a,b$ 满足 $|a - b| = \sqrt{6}$，$|a + b| = |2a - b|$，则 $|b|$ 为(D)

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$

答案： 7.D【解析】因为$\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\vert2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert$，即$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}$，则$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，整理得$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，又因为$\vert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{6}$，即$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=6$，则$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=6$，所以$\vert\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{6}$.故选D.
规律方法求向量的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模的平方来解决，灵活应用$\boldsymbol{a}^{2}=\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}$，求出模的平方后勿忘记开方.
(2)$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}^{2}=\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}$或$\vert\boldsymbol{a}\vert=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}}$，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

8. 已知向量 $a,b$ 均为单位向量，且 $a\perp b$，$|a - \lambda b| = \sqrt{5}$，则实数 $\lambda =$$\pm2$。

答案： 8.$\pm2$【解析】由题意知$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，$\vert\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{5}$，故$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$，且$\boldsymbol{a}^{2}-2\lambda\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\lambda^{2}\boldsymbol{b}^{2}=5$，即$\boldsymbol{a}^{2}-2\lambda\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\lambda^{2}\boldsymbol{b}^{2}=5$，故$1+\lambda^{2}=5$，解得$\lambda=\pm2$.

9. 教材变式[江苏宿迁 2025 高一期中]若非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})·\overrightarrow{BC} = 0$，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{2}$，则 $\triangle ABC$ 为(D)

A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

答案： 9.D【解析】显然$\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}$是与$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$分别同向的单位向量，由$(\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert})·\overrightarrow{BC}=0$，
得$\angle BAC$的平分线与BC垂直，于是$AB=AC$，
而$\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}·\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}=1×1×\cos\angle BAC=\frac{1}{2}$，即$\cos\angle BAC=\frac{1}{2}$.
又$\angle BAC\in(0,\pi)$，因此$\angle BAC=\frac{\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形.
故选D.
链接教材本题是教材第20页练习第2题的变式与延伸，意在通过向量数量积求出夹角或夹角范围后判断三角形的形状.在$\triangle ABC$中，如果夹角的余弦值都大于0，则三角形为锐角三角形；如果有夹角的余弦值为0，则三角形为直角三角形；如果有夹角的余弦值小于0，则三角形为钝角三角形.同时还要考虑三角形三边之间的关系，判断三角形是否为等腰或等边三角形.

10. [浙江杭州 2025 高一期中]已知 $e_1,e_2$ 为平面中的单位向量，且满足 $e_1· e_2 = \frac{1}{4}$，若 $a = 2e_1 + e_2$，$b = \lambda e_1 - e_2$，且 $a\perp b$，则实数 $\lambda =$$\frac{2}{3}$。

答案： 10.$\frac{2}{3}$【解析】因为$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，且$\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}=\frac{1}{4}$，$\vert\boldsymbol{e}_{1}\vert=\vert\boldsymbol{e}_{2}\vert=1$，所以$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=(2\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2})·(\lambda\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=0$，
即$2\lambda\vert\boldsymbol{e}_{1}\vert^{2}-2\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}+\lambda\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}-\vert\boldsymbol{e}_{2}\vert^{2}=0$，所以$2\lambda-2×\frac{1}{4}+\lambda×\frac{1}{4}-1=0$，解得$\lambda=\frac{2}{3}$.

11. [山东泰安 2024 高一期中]在边长为 1 的等边三角形 $ABC$ 中，设 $\overrightarrow{BC} = a$，$\overrightarrow{CA} = b$，$\overrightarrow{AB} = c$，则 $a· b + b· c + c· a =$(A)

A.$-\frac{3}{2}$
B.0
C.$\frac{3}{2}$
D.3

答案：
11.A【解析】$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{CA}=\vert\overrightarrow{BC}\vert\vert\overrightarrow{CA}\vert·\cos(180^{\circ}-\angle BCA)=-\vert\overrightarrow{BC}\vert\vert\overrightarrow{CA}\vert·\cos60^{\circ}=-\frac{1}{2}$.同理$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=-\frac{1}{2}$，$\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}=-\frac{1}{2}$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}=-\frac{3}{2}$.
易错警示在求解时，常因认为“$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}$中两两的夹角为$60^{\circ}$”而致误，所以求解与应用向量的夹角有关的问题时，首先需要表示向量的有向线段“共起点”，如图所示，$\angle BCA$不是向量$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{CA}$的夹角，它的补角$180^{\circ}-\angle BCA$才是，可利用$\cos(180^{\circ}-\angle BCA)=-\cos\angle BCA$计算.

12. 已知 $|a| = 2$，$|b| = 3$，$a$ 与 $b$ 的夹角为 $60^{\circ}$。若 $a + \lambda b$ 与 $\lambda a + b$ 的夹角为锐角，则实数 $\lambda$ 的取值范围为$(-\infty,\frac{-13-\sqrt{133}}{6})\cup(\frac{\sqrt{133}-13}{6},1)\cup(1,+\infty)$。

答案： 12.$(-\infty,\frac{-13-\sqrt{133}}{6})\cup(\frac{\sqrt{133}-13}{6},1)\cup(1,+\infty)$【解析】由题意可得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\vert\boldsymbol{a}\vert·\vert\boldsymbol{b}\vert·\cos60^{\circ}=2×3×\frac{1}{2}=3$.又$\because(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})·(\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}^{2}+(\lambda^{2}+1)\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\lambda\boldsymbol{b}^{2}$，$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，
$\therefore\lambda\boldsymbol{a}^{2}+(\lambda^{2}+1)\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\lambda\boldsymbol{b}^{2}＞0$且$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$不共线.$\because\boldsymbol{a}^{2}=\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}=4$，$\boldsymbol{b}^{2}=\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=9$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=3$，$\therefore3\lambda^{2}+13\lambda+3＞0$，解得$\lambda＜\frac{-13-\sqrt{133}}{6}$或$\lambda＞\frac{\sqrt{133}-13}{6}$.当$\lambda=1$时，$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$共线，其夹角不为锐角，故实数$\lambda$的取值范围为$(-\infty,\frac{-13-\sqrt{133}}{6})\cup(\frac{\sqrt{133}-13}{6},1)\cup(1,+\infty)$.
易错警示在求解时，常因忽略“$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$与$\lambda\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$共线”的情形致误，出现错误的原因是认为$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＞0$与$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$为锐角等价.设两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则当$\theta=0^{\circ}$时，$\cos\theta=1$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert$；当$\theta$为锐角时，$\cos\theta＞0$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＞0$且$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}\neq\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert$；当$\theta$为直角时，$\cos\theta=0$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=0$；当$\theta$为钝角时，$\cos\theta＜0$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}＜0$且$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}\neq-\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert$；当$\theta=180^{\circ}$时，$\cos\theta=-1$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert$.