《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

4. [全国二2025·1,5分]样本数据2,8,14,16,20的平均数为(C)

A.8
B.9
C.12
D.18

答案： 4.C【解析】平均数为$\frac{1}{5}×(2 + 8 + 14 + 16 + 20)=12$.故选C.

5. [全国新课标Ⅱ2024·4,5分]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:

根据表中数据,下列结论中正确的是(C)

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

答案： 5.C【解析】A选项，因为$6 + 12 + 18 = 36＜50,36 + 30 = 66＞50$，所以$100$块稻田亩产量的中位数不小于$1050 kg$，A错误；B选项，因为$100$块稻田中亩产量低于$1100 kg$的稻田有$66$块，所占比例为$66\%＜80\%$，所以B错误；C选项，$100$块稻田亩产量的极差的最大值小于$1200 - 900 = 300$，最小值大于$1150 - 950 = 200$，所以极差介于$200 kg$至$300 kg$之间，C正确；D选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这$100$块稻田亩产量的平均值的最小值为$\frac{1}{100}×(6×900+12×950+18×1000+30×1050+24×1100+10×1150)=1042＞1000$，所以平均值不介于$900 kg$至$1000 kg$之间，D错误.故选C.

6. (多选)[全国新课标Ⅰ2023·9,5分]有一组样本数据x₁,x₂,⋯,x₆,其中x₁是最小值,x₆是最大值,则(BD)

A.x₂,x₃,x₄,x₅的平均数等于x₁,x₂,⋯,x₆的平均数
B.x₂,x₃,x₄,x₅的中位数等于x₁,x₂,⋯,x₆的中位数
C.x₂,x₃,x₄,x₅的标准差不小于x₁,x₂,⋯,x₆的标准差
D.x₂,x₃,x₄,x₅的极差不大于x₁,x₂,⋯,x₆的极差

答案： 6.BD【解析】对于选项A：$\because x_1,x_6$不确定，$\therefore x_1,x_2,·s,x_6$的平均数不确定，如$1,2,2,2,2,4$的平均数不等于$2,2,2,2$的平均数，故A错误。对于选项B：不妨设$x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5$，则$x_2,x_3,x_4,x_5$的中位数为$\frac{x_3+x_4}{2},x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的中位数为$\frac{x_3+x_4}{2}$，故B正确。对于选项C：$\because x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的波动性不小于$x_2,x_3,x_4,x_5$的波动性，$\therefore x_2,x_3$，$\blacksquare$黑板：数据的波动性越大，标准差越大；数据的波动性越小，标准差越小。$x_4,x_5$的标准差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的标准差，故C错误。对于选项D：不妨设$x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5$，则$x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5\leq x_6,\therefore x_5 - x_2\leq x_6 - x_1$，即$x_2,x_3,x_4,x_5$的极差不大于$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$的极差，故D正确.故选BD.

7. [课标全国Ⅱ理2019·13,5分]我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.

答案： 7.0.98【解析】依题意估计经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为$\frac{10×0.97+20×0.98+10×0.99}{40}=0.98$。

$8. [$全国乙理$2023·17,12$分$]$某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应$,$进行$10$次配对试验$,$每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品$,$随机地选其中一个用甲工艺处理$,$另一个用乙工艺处理$,$测量处理后的橡胶产品的伸缩率$.$甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为$x_i,y_i(i=1,2,⋯,10).$试验结果如下$:$　　

记$z_i=x_i−y_i(i=1,2,⋯,10),$记$z₁,z₂,⋯,z₁₀$的样本平均数为$\overline{z},$样本方差为$s².$　　
$(1)$求$\overline{z},s²;$　　
$(2)$判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高$($如果$\overline{z}\geq2\sqrt{\frac{s^2}{10}},$则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高$,$否则不认为有显著提高$).$　　

答案： 8.【解】
(1)因为$z_i=x_i - y_i(i = 1,2,·s,10)$，所以$z_1 = 9,z_2 = 6,z_3 = 8,z_4 = - 8,z_5 = 15,z_6 = 11,z_7 = 19,z_8 = 18,z_9 = 20,z_{10} = 12$，所以$\bar{z}=\frac{1}{10}×(9 + 6 + 8 - 8 + 15 + 11 + 19 + 18 + 20 + 12)=11$，所以$s^2=\frac{1}{10}×(4 + 25 + 9 + 361 + 16 + 0 + 64 + 49 + 81 + 1)=61$。
(2)因为$2\sqrt{\frac{s^2}{10}}=2×\sqrt{\frac{61}{10}}=\sqrt{24.4}＜11$，即2\sqrt{\frac{s^2}{10}}＜z_，所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.