《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 在$\triangle ABC$中，若内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列有关正弦定理及其变形错误的是(B)

A.$a:b=\sin A:\sin B$
B.$a = b\Leftrightarrow\sin 2A=\sin 2B$
C.$\frac{a}{\sin A}=\frac{b + c}{\sin B+\sin C}$
D.$a = b\Leftrightarrow\sin A=\sin B$

答案： 1.B　[解析]在△ABC中,由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=k(k＞0)$，
则$a=k\sin A$，$b=k\sin B$，$c=k\sin C$。
对于A，$a:b=\sin A:\sin B$，故A正确；对于B，当$A=30^{\circ}$，$B=60^{\circ}$时，$\sin2A=\sin2B$，此时$b=\sqrt{3}a$，即$a≠b$，故B错误；对于C，$\frac{b+c}{\sin B+\sin C}=\frac{k\sin B+k\sin C}{\sin B+\sin C}=k=\frac{a}{\sin A}$，故C正确；
对于D，$a=b\Leftrightarrow k\sin A=k\sin B\Leftrightarrow\sin A=\sin B$，故D正确。故选B。

2. [贵州六盘水2025高一期末]已知$A$，$B$是$\triangle ABC$的内角，则“$A ＜ B$”是“$\sin A ＜ \sin B$”的充要条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)

答案： 2.充要　[解析]在△ABC中，若$A＜B$，则$a＜b$，由正弦定理得$\sin A＜\sin B$；
若$\sin A＜\sin B$，则由正弦定理得$a＜b$，所以$A＜B$，所以“$A＜B$”是“$\sin A＜\sin B$”的充要条件。

3. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，已知$b = 2$，$A = 45^{\circ}$，$B = 60^{\circ}$，则$a=$(A)

A.$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$

答案： 3.A　[解析]已知$b=2$，$A=45^{\circ}$，$B=60^{\circ}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，则$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。故选A。

4. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = \sqrt{2}$，$A = \frac{\pi}{6}$，$\cos C = \frac{1}{3}$，则$c=$(D)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{8\sqrt{3}}{9}$
D.$\frac{8}{3}$

答案： 4.D　[解析]由题可得$\sin C=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以由正弦定理得$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}$。故选D。

5. 教材变式在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，已知$B = 30^{\circ}$，$b = 2$，$c = 2\sqrt{2}$，则角$C$的大小为(D)

A.$45^{\circ}$
B.$105^{\circ}$或$15^{\circ}$
C.$15^{\circ}$
D.$135^{\circ}$或$45^{\circ}$

答案： 5.D　[解析]由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，则$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{2\sqrt{2}\sin30^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$b＜c$，所以$B＜C＜180^{\circ}$，所以角$C$为$135^{\circ}$或$45^{\circ}$。故选D。

6. [河南安阳内黄一中2025高一质量检测]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = 4$，$b = 5$，$\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，则$\sin B=$(B)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 6.B　[解析]由$\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$A\in(0,\pi)$得$\sin A＞0$，则$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\frac{1}{3}$。由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即$\frac{4}{1}=\frac{5}{\sin B}$，得$\sin B=\frac{5}{12}$。故选B。

7. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列判断正确的是(D)

A.$B = 30^{\circ}$，$c = 4$，$b = 5$，有两解
B.$B = 30^{\circ}$，$c = 4$，$b = 3.9$，有一解
C.$B = 30^{\circ}$，$c = 4$，$b = 3$，有一解
D.$B = 30^{\circ}$，$c = 4$，$b = 1$，无解

答案： 7.D　[解析]选项A，因为$b=5＞c=4$，所以$B=30^{\circ}＞C$，$\triangle ABC$只有一解，故A错误；选项B，因为$c\sin30^{\circ}=2＜b=3.9＜c=4$，所以$\triangle ABC$有两解，故B错误；
选项C，因为$c\sin30^{\circ}=2＜b=3＜c=4$，所以$\triangle ABC$有两解，故C错误；
选项D，因为$b=1＜c\sin30^{\circ}=2$，所以$\triangle ABC$无解，故D正确。
故选D。

8. [重庆八中2025高一期中]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，其中$a = 4$，$B = \frac{\pi}{4}$，若这个三角形有两组解，则$b$的取值范围为(D)

A.$(4,+\infty)$
B.$(0,2\sqrt{3})$
C.$(0,2\sqrt{2})$
D.$(2\sqrt{2},4)$

答案： 8.D　[解析]若这个三角形有两组解，则$a\sin B＜b＜a$，因为$a=4$，$B=\frac{\pi}{4}$，所以$2\sqrt{2}＜b＜4$。故选D。

9. [宁夏银川二中2025高一期末]在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，且$a^{2}-b^{2}=\sqrt{3}bc$，$\sin C=\sqrt{3}\sin B$，则$A=$(C)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 9.C　[解析]在△ABC中，由$\sin C=\sqrt{3}\sin B$及正弦定理，得$c=\sqrt{3}b$，
又$a^{2}-b^{2}=\sqrt{3}bc$，则$a=2b$，显然$b^{2}+c^{2}=4b^{2}=a^{2}$，所以$A=90^{\circ}$。故选C。

10. [安徽合肥2025高一期中]在$\triangle ABC$中，$a$，$b$，$c$分别为内角$A$，$B$，$C$所对的边，且$\frac{1}{2}c = b - a\cos C$，若$\triangle ABC$的外接圆直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则$a$的值为(B)

A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

答案： 10.B　[解析]
∵$\frac{1}{2}c=b-a\cos C$，
∴由正弦定理得，$\frac{1}{2}\sin C=\sin B-\sin A\cos C=\sin(A+C)-\sin A\cos C=\sin A\cos C+\cos A\sin C-\sin A\cos C=\cos A\sin C$，
又在△ABC中，$0＜C＜\pi$，$0＜A＜\pi$，
∴$\sin C＞0$，$\cos A=\frac{1}{2}$。
∴$A=\frac{\pi}{3}$。
∵△ABC的外接圆直径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{a}{\sin A}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即$a=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin\frac{\pi}{3}=2$。故选B。

11. 在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.若$a\cos C + c\cos A = a$，则$\triangle ABC$的形状一定是(A)
A. 等腰三角形
B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形

答案： 11.A　[解析]在△ABC中，由$a\cos C+c\cos A=a$及正弦定理，得$\sin A\cos C+\sin C\cos A=\sin A$，
则$\sin A=\sin(A+C)=\sin B$。因为$0＜A＜\pi$，$0＜B＜\pi$，$0＜A+B＜\pi$，所以$A=B$，所以△ABC是等腰三角形。故选A。

12. (多选)[河北石家庄2025高一期末]设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，下列命题正确的有(AD)
A. 若$\cos^{2}\frac{B}{2}=\frac{a + c}{2c}$，则$\triangle ABC$为直角三角形
B. 若$a - b = c\cos B - c\cos A$，则$\triangle ABC$为直角三角形
C. 若$c\cos B\cos A + b\cos A\cos C = b\cos B$，则$\triangle ABC$为直角三角形
D. 若$a = -c\cos(A + C)$，则$\triangle ABC$为直角三角形

答案： 12.AD　[解析]对于A，由$\cos^{2}\frac{B}{2}=\frac{a+c}{2c}$，可得$\frac{1+\cos B}{2}=\frac{\sin A+\sin C}{2\sin C}=\frac{1}{2}×\frac{\sin A}{\sin C}+\frac{1}{2}$，所以$1+\cos B=\frac{\sin A}{\sin C}+1$，即$\cos B=\frac{\sin A}{\sin C}$，可得$\cos B\sin C=\sin A=\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，所以$\sin B\cos C=0$，因为$B\in(0,\pi)$，所以$\sin B＞0$，所以$\cos C=0$，又因为$C\in(0,\pi)$，所以$C=\frac{\pi}{2}$，所以△ABC为直角三角形，所以A正确；
对于B，因为$a-b=c\cos B-c\cos A$，所以$\sin A-\sin B=\sin C\cos B-\sin C\cos A$，
即$\sin(B+C)-\sin(A+C)=\sin C\cos B-\sin C\cos A$，所以$\sin B\cos C-\sin A\cos C=0$，即$\cos C(\sin B-\sin A)=0$，可得$\cos C=0$或$\sin B=\sin A$，即$C=\frac{\pi}{2}$或$A=B$，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以B错误；
对于C，因为$c·\cos B\cos A+b·\cos A\cos C=b·\cos B$，
所以$\sin C\cos B\cos A+\sin B\cos A\cos C=\sin B\cos B$，即$\cos A(\sin C\cos B+\cos C\sin B)=\sin B\cos B$，
因为$A+B+C=\pi$，$\sin(B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\sin(\pi - A)=\sin A$，所以$\cos A\sin A=\sin B\cos B$，即$\sin2A=\sin2B$，
因为$A\in(0,\pi)$，$B\in(0,\pi)$，所以$2A=2B$或$2A+2B=\pi$，所以$A=B$或$A+B=\frac{\pi}{2}$，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以C错误；
对于D，因为$a=-c\cos(A+C)=-c\cos(\pi - B)=c\cos B=c×\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，
整理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以△ABC一定是直角三角形，所以D正确。故选AD。