《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

8. [四川绵阳2025高二期末]哈希表是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构. 常用的方法之一是“除留余数法”. 例如，当除数为3时，键值为13的数据因13除以3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置). 现有一个容量为7个位置(编号0~6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据. 设这7个位置存放的数据个数分别为$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$，则下列说法中正确的是(D)

A.至少有1个位置存放了不少于5个数据
B.若这22个数据的键值恰好是0~44间的所有奇数，则$a_0\sim a_6$的中位数为2
C.若$a_0\sim a_6$的方差为$s^2$，则$s^2$的最小值为0，最大值为$\frac{2904}{49}$
D.若$a_0\sim a_6$的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据

答案： 8.D 【解析】由题意可知，$a_i$为数据除以7的余数为$i(i = 0,1,2,3,4,5,6)$的数的个数。对于A选项，$22 = 7×3 + 1$，不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3,3,3,3,3,3,4，故A错误；对于B选项，由题意可知，这些奇数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43，这些数据除7的余数分别为1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,3，所以$a_0 = 3,a_1 = 4,a_2 = 3,a_3 = 3,a_4 = 3,a_5 = 3,a_6 = 3$，将$a_0 \sim a_6$这7个数由小到大排列依次为3,3,3,3,3,3,4，中位数为3，故B错误；对于C选项，由题意可知，$a_0 \sim a_6$这7个数的平均数为$\bar{x}=\frac{22}{7}$，且$3＜\frac{22}{7}＜4$，$|3 - \frac{22}{7}|＜|4 - \frac{22}{7}|$，因为$a_i \in N(i = 0,1,2,3,4,5,6)$，$s^2=\frac{1}{7}\sum_{i = 0}^{6}(a_i - \frac{22}{7})^2$，当$a_0 \sim a_6$这7个数中有6个3，1个4时，$s^2$取最小值，即$(s^2)_{min}=\frac{1}{7}×[6×(3 - \frac{22}{7})^2+(4 - \frac{22}{7})^2]=\frac{6}{49}$，当$a_0 \sim a_6$这7个数中有6个0，1个22时，$s^2$取最大值，即$(s^2)_{max}=\frac{1}{7}×[6×(0 - \frac{22}{7})^2+(22 - \frac{22}{7})^2]=\frac{2904}{49}$，故C错误；对于D选项，不妨设$a_0 \sim a_6$这7个数依次为1,6,3,3,3,3,3，满足极差为5，此时所有位置都有数据，若存在一些位置没有数据，则$a_0 \sim a_6$这7个数据中的最大值为5，最小值为0，因为$22 = 5×4 + 2$，此时至少需要5个位置存放数据，所以至多有2个位置没有存放数据，故D正确。故选D。

9. [河南安阳2025高一调研]某城市为了解不同年龄段市民对垃圾分类政策的支持情况，对参与问卷调查的市民按老、中、青三个年龄段进行统计，发现三个年龄段的人数比例为4:3:3. 现用按比例分配的分层随机抽样的方法从这些市民中抽取$n$名进行深入访谈，若抽到老年市民80人，则下列结论正确的是(ACD)

A.抽到中年市民60人
B.抽到青年市民90人
C.$n = 200$
D.抽取的中年与青年市民人数之和比老年市民人数多40

答案： 9.ACD 【解析】设中年市民、青年市民被抽到的人数分别为$x,y$，则$\frac{80}{4}=\frac{x}{3}=\frac{y}{3}$，解得$x = y = 60$，而$n=\frac{80}{4}=200$，抽取的中年与青年市民人数之和比老年市民人数多$60 + 60 - 80 = 40$，故ACD正确，B错误。故选ACD。

10. [广东河源2025高一期末]2025年4月23日，在第四届全民阅读大会上正式发布了《2024年度中国数字阅读报告》，公布了我国近五年数字阅读用户规模和网民规模的数据，如图所示，则(ABC)


A.2024年，我国数字阅读用户规模占网民规模的五成以上
B.近五年，我国数字阅读用户规模的增长量比网民规模的增长量大
C.从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增
D.从2020年至2024年，我国网民规模的增长率逐年递增

答案： 10.ABC 【解析】对于A，根据条形图，知2024年我国数字阅读用户规模为6.7亿，网民规模为11.1亿，所以数字阅读用户规模约占网民规模的$6.7÷11.1×100\%≈60.36\%$，故A正确；对于B，近五年我国数字阅读用户规模的增长量为$6.7 - 4.94 = 1.76$亿，网民规模的增长量为$11.1 - 9.9 = 1.2$亿，所以数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量，故B正确；对于C，根据条形图可以看出，从2020年至2024年，我国数字阅读用户规模逐年递增，故C正确；对于D，根据条形图，知从2020年至2021年我国网民规模的增长率为$\frac{10.3 - 9.9}{9.9}≈0.0404$，从2023年至2024年我国网民规模的增长率为$\frac{11.1 - 10.9}{10.9}≈0.0183$，增长率减小了，故D错误。（巧思：在已知网民规模逐年递增的前提下，若增长量减小，则增长率一定减小）故选ABC。