《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [山西部分学校 2025 高一期中]若正四棱锥的高为 $ 2\sqrt{3} $，且其各侧面的面积之和是底面积的 2 倍，则该四棱锥的表面积为(D)

A.12
B.24
C.32
D.48

答案：
1.D　[解析]如图,PO是正四棱锥P−ABCD的高，所以PO=2√3，

PE是斜高,由S侧=2S底可得4×$\frac{1}{2}$×BC×PE=2BC²,所以BC=PE。
在Rt△POE中,PO=2√3，OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$PE,所以12+($\frac{PE}{2}$)²=PE²,所以PE=4。
所以S底=BC²=PE²=16,S侧=2S底=2×16=32,所以S表=S底+S侧=16+32=48.故选D。

2. 如图是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为 $ 2:3 $，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为(B)


A.$ \frac{\sqrt{7}}{8} $
B.$ \frac{\sqrt{43}}{24} $
C.$ \frac{1}{9} $
D.$ \frac{1}{27} $

答案： 2.B　[解析]设正六边形的边长为a,则由题意知正六棱柱的高为2a。
因为正六棱锥的高与底面边长的比为2:3,所以正六棱锥的高为$\frac{2}{3}$a,则正六棱锥的侧棱长为$\sqrt{a^{2}+(\frac{2}{3}a)^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}a$，则正六棱锥的侧面积S₁=6×$\frac{1}{2}$a×$\sqrt{(\frac{13}{9}a)^{2}-\frac{1}{4}a^{2}}=\frac{\sqrt{43}}{2}a^{2}$，正六棱柱的侧面积S₂=6×a×2a = 12a²，所以$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\sqrt{43}}{24}$。故选B。
规律方法：棱柱的侧面是平行四边形，求其侧面积时，可将每个侧面的面积相加。直棱柱的侧面展开图是矩形，求其侧面积时，只需求出相应底面周长及高。正棱锥的侧面展开图是由若干个全等的等腰三角形组成的，求正棱锥的侧面积的关键是求其底面周长和斜高。正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组成的，求其侧面积的关键是求出其上、下底面的周长和斜高。

3. 已知一个正棱台(正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形)的上、下底面是边长分别为 4，6 的正方形，侧棱长为 $ \sqrt{5} $，则该棱台的表面积为(C)

A.72
B.82
C.92
D.112

答案： 3.C　[解析]因为正棱台的上、下底面是边长分别为4,6的正方形，侧棱长为$\sqrt{5}$，侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高h=$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\frac{6 - 4}{2})^{2}}=2$，所以一个侧面面积S侧=$\frac{1}{2}$×(4 + 6)×2 = 10，棱台的上、下底面面积和S = 4²+6²=52，所以该棱台的表面积为10×4 + 52 = 92。故选C。

4. (多选)[湖南长沙 2025 高一期中联考]如图，在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ AB = 2 $，$ BC = 3 $，$ CC_1 = 4 $，且 $ AB \perp BC $，$ P $ 为 $ BC_1 $ 的中点，则(ACD)

A.三棱锥 $ A - BCC_1 $ 的体积为 4

B.三棱锥 $ C - APC_1 $ 的体积为 $ \frac{5}{2} $
C.四棱锥 $ C_1 - ABB_1A_1 $ 的体积为 8
D.三棱锥 $ C_1 - ABC $ 的表面积为 $ 14 + 2\sqrt{13} $

答案： 4.ACD [解析]对A：VA−BCC₁=VC₁−ABC=$\frac{1}{3}$×CC₁×S△ABC=$\frac{1}{3}$×4×$\frac{1}{2}$×2×3 = 4，故A正确；对B：VC−APC₁=VA−PCC₁，而三棱锥A−BCC₁与三棱锥A−PCC₁有共同的高，
∵P为BC₁的中点，
∴S△PCC₁=$\frac{1}{2}$S△BCC₁，
∴VA−PCC₁=$\frac{1}{2}$VA−BCC₁=$\frac{1}{2}$×4 = 2，故B错误；对C：VC₁−ABB₁A₁=VABC−A₁B₁C₁−VC₁−ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×3×4 = 8，故C正确；对D：由题可知，AC=$\sqrt{13}$，AC₁=$\sqrt{29}$，BC₁=5，
∴AB²+BC²=AC₁²，
∴△ABC₁是直角三角形，AB⊥BC，
∴三棱锥C₁−ABC的表面积为S△ABC+S△BCC₁+S△ACC₁+S△ABC₁=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×4+$\frac{1}{2}$×2×5 = 14 + 2$\sqrt{13}$，故D正确。故选ACD。

5. [四川成都 2024 高一期末]在一次降雨过程中，用一个侧棱 $ AA_1 = 80 mm $ 的直三棱柱容器收集的 24 小时的雨水如图①所示，当侧面 $ AA_1B_1B $ 水平放置时如图②所示，水面恰好过 $ AC $，$ BC $，$ A_1C_1 $，$ B_1C_1 $ 的中点，则图①中水面的高度是(C)

A.20 mm
B.40 mm
C.60 mm
D.70 mm

答案： 5.C　[解析]设△ABC的面积为S，底面ABC水平放置时，水面高度为h。当侧面AA₁B₁B水平放置时，水的体积V=$\frac{3}{4}$S△ABC×AA₁=$\frac{3}{4}$AA₁×S = 60S，当底面ABC水平放置时，水的体积V = S△ABC×h = Sh，于是Sh = 60S，解得h = 60，所以当底面ABC水平放置时，水面的高度是60mm。悟：无论如何放置，水的体积不变。故选C。

6. [山西阳泉 2025 高一期中]如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $，$ AB = 2 $，$ A_1B_1 = 4 $，侧面面积为 $ 12\sqrt{3} $，则该正四棱台的体积为$\frac{28\sqrt{2}}{3}$。

答案：
6.$\frac{28\sqrt{2}}{3}$　[解析]取正四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心分别为O₁,O，棱B₁C₁,BC的中点分别为E₁,E，连接OO₁,OE,EE₁,O₁E₁，则OO₁,EE₁分别是正四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁的高和斜高。

依题意，S四边形BCC₁B₁=$\frac{1}{2}$(BC + B₁C₁)×EE₁=3EE₁=3√3，解得EE₁=√3。
在直角梯形OEE₁O₁中，OE//O₁E₁，OO₁⊥OE，OE = 1，O₁E₁=2，则OO₁=$\sqrt{EE_{1}^{2}-(O_{1}E_{1}-OE)^{2}}=\sqrt{2}$。
所以正四棱台ABCD−A₁B₁C₁D₁的体积V=$\frac{1}{3}$(2²+$\sqrt{2^{2}×4^{2}}$+4²)×$\sqrt{2}$=$\frac{28\sqrt{2}}{3}$。

7. [福建厦门 2025 高一期中]如图①所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国传统手工艺品之一。图②是小明为自家设计的一个花灯的示意图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为 4 dm 和 2 dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为 1 dm 和 6 dm，则该花灯的表面积为(A)

A.$ (108 + 30\sqrt{3}) dm^2 $
B.$ (72 + 30\sqrt{3}) dm^2 $
C.$ (64 + 24\sqrt{3}) dm^2 $
D.$ (48 + 24\sqrt{3}) dm^2 $

答案：
7.A　[解析]正六棱柱的六个侧面面积之和为2×6×6 = 72(dm²)，正六棱柱的底面面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²×6 = 6√3(dm²)。
如图所示，正六棱台ABCDEF−A₁B₁C₁D₁E₁F₁中，A₁B₁=2dm，AB = 4dm。过点A₁作A₁A₂垂直底面ABCDEF于点A₂，连接AD，取AD的中点为O，则A₂为OA的中点，过点A₂作A₂G⊥AB于点G，连接A₁G，则A₁G为正六棱台的斜高。
其中A₁A₂=1dm，A₂G=$\frac{AB - A_{1}B_{1}}{2}=1$dm，AA₂=$\frac{1}{2}$AO = 2dm，由勾股定理得A₂G=$\sqrt{AA_{2}^{2}-A_{2}G^{2}}=\sqrt{3}$dm，故A₁G=$\sqrt{A_{2}G^{2}+A_{1}A_{2}^{2}}=2$dm。

所以正六棱台的侧面积为$\frac{1}{2}$×(4 + 2)×2×6 = 36(dm²)。
又正六棱台的下底面ABCDEF的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²×6 = 24√3(dm²)，所以该花灯的表面积为72 + 6√3+36 + 24√3=108 + 30√3(dm²)。故选A。

8. [黑龙江绥化二中 2024 高一期中]如图，该几何体是一个棱长为 2 的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为$\sqrt{6}:9$。

答案： 8.$\sqrt{6}:9$ 　[解析]正八面体的表面由8个全等的正三角形组成，其中正三角形ABE的边长为2，则正八面体的表面积S = 8S△ABE=8×$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=8√3。又正八面体可视为两个共底面的、侧棱长与底面边长相等的正四棱锥E−ABCD与F−ABCD拼接而成，正四棱锥E−ABCD的高h=$\sqrt{AE^{2}-(\frac{1}{2}AC)^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2}$，则正八面体的体积V = 2Vₑ₋ₐₓₓₔ=2×$\frac{1}{3}$AB²×h=$\frac{2}{3}$×4×$\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$，于是可得$\frac{V}{S}=\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$，所以正八面体的体积与表面积之比为$\sqrt{6}:9$。
规律方法：求不规则几何体的表面积或体积时，通常将该几何体分割成基本的柱、锥、台体，通过计算，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积或体积，从而获得该几何体的表面积或体积；或者将不规则几何体补成规则几何体，再进行计算。