《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. 其中正确说法的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.C 【解析】由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.①②④正确. 故选C.

2. [四川绵阳南山中学 2024 高一期中] 如图，分别取与 $ x $ 轴，$ y $ 轴正方向相同的两个单位向量 $ \{ i,j \} $ 作为一个基底，若 $ |a| = \sqrt{3} $，$ \theta = \frac{\pi}{6} $，则向量 $ a $ 的坐标为(A)


A.$ \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $
B.$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right) $
C.$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $
D.$ \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) $

答案： 2.A 【解析】由题意得,$a = \left( \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} \right) i + \left( \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} \right) j = \left( \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$. 故选A.

3. [陕西师大附中 2025 高一期末] 与向量 $ a = (12,5) $ 平行的单位向量是(D)

A.$ \left( \frac{12}{13}, \frac{5}{13} \right) $
B.$ \left( -\frac{12}{13}, -\frac{5}{13} \right) $
C.$ \left( 6, \frac{5}{2} \right) $ 或 $ \left( -6, -\frac{5}{2} \right) $
D.$ \left( \frac{12}{13}, \frac{5}{13} \right) $ 或 $ \left( -\frac{12}{13}, -\frac{5}{13} \right) $

答案： 3.D 【解析】因为与向量$a$平行的单位向量是$\pm \frac{a}{|a|}$,$|a| = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$，所以所求单位向量为$\pm \left( \frac{12}{13}, \frac{5}{13} \right)$或$\left( -\frac{12}{13}, -\frac{5}{13} \right)$，故选D.

4. 已知点 $ A(3,-1) $，$ B(3,2) $，$ O $ 为坐标原点，$ \overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB} (\lambda \in \mathbf{R}) $. 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，则 $ \lambda $ 的值为(B)

A.0
B.1
C.-1
D.-2

答案： 4.B 【解析】设点$P(a,0)$,则$\overrightarrow{OP} = (a,0)$.又$\overrightarrow{OA} = (3,-1)$,$\overrightarrow{OB} = (3,2)$,则$(a,0) = (6,-2) + (3\lambda,2\lambda)$,则$\begin{cases} a = 6 + 3\lambda, \\ 0 = -2 + 2\lambda, \end{cases}$解得$\begin{cases} \lambda = 1, \\ a = 9, \end{cases}$故选B.

5. [福建莆田 2024 高一月考] 已知点 $ O(0,0) $，向量 $ \overrightarrow{OA} = (2,3) $，$ \overrightarrow{OB} = (6,-3) $，点 $ P $ 是直线 $ AB $ 上一点且满足 $ AP = 2PB $，则点 $ P $ 的坐标是(C)

A.$ \left( \frac{14}{3}, -1 \right) $
B.$ \left( \frac{10}{3}, 1 \right) $
C.$ \left( \frac{14}{3}, -1 \right) $ 或 $ (10,-9) $
D.$ \left( \frac{10}{3}, 1 \right) $ 或 $ (10,-9) $

答案： 5.C
思路导引 根据$AP = 2PB$不确定点$P$在线段$AB$内还是在线段$AB$外,需分$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$,$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{BP}$两种情况讨论,然后利用向量线性运算的坐标表示求解即可.
【解析】依题意,若$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$,则$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} +$
$\thickapprox$点悟:$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$,则$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = 2(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})$,$\frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$,而$\overrightarrow{OA} = (2,3)$,$\overrightarrow{OB} = (6,-3)$,因此$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3} (2,3) + \frac{2}{3} (6,-3) = \left( \frac{14}{3}, -1 \right)$,则点$P$的坐标是$\left( \frac{14}{3}, -1 \right)$;若$\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{BP}$,则$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 2(6,-3) - (2,3) = (10,-9)$,则点$P$的坐标是$(10,-9)$.综上,点$P$的坐标是$\left( \frac{14}{3}, -1 \right)$或$(10,-9)$. 故选C.
二级结论 向量定比分点的坐标表示
若$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$,$P(x,y)$,$\overrightarrow{P_1P} = \lambda \overrightarrow{PP_2}$,则$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{1 + \lambda} \overrightarrow{OP_1} + \frac{\lambda}{1 + \lambda} \overrightarrow{OP_2}$,则$\begin{cases} x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \\ y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}. \end{cases}$

6. (多选) 已知 $ O,A,B,C $ 是不同的点，下列说法正确的是(ACD)

A.若 $ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{BC} $，则 $ A,B,C $ 三点共线
B.若 $ \overrightarrow{AB} = (2,-1) $，$ \overrightarrow{AC} = (2,4) $，则 $ A,B,C $ 三点共线
C.若 $ \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} $，则 $ A,B,C $ 三点共线
D.若 $ \overrightarrow{AB} = (1,-2) $，$ \overrightarrow{AC} = (2,-4) $，则 $ A,B,C $ 三点共线

答案： 6.ACD 【解析】对于A,若$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{BC}$,则$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$共线且$\overrightarrow{AB}$的终点是$\overrightarrow{BC}$的起点,所以$A$,$B$,$C$三点共线,故A正确;对于B,因为$\frac{2}{2} \neq \frac{-1}{4}$,所以$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$不共线,则$A$,$B$,$C$三点不共线,故B错误;对于C,若$\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC}$,则$\frac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OC}$,$\frac{1}{3} \overrightarrow{OB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$,即$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}$,则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$共线,又$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$有共同端点$B$,则$A$,$B$,$C$三点共线,故C正确;
对于D,若$\overrightarrow{AB} = (1,-2)$,$\overrightarrow{AC} = (2,-4)$,则$\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$,则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线,又$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$有共同端点$A$,故$A$,$B$,$C$三点共线,故D正确. 故选ACD.

7. [山东济南 2025 高一期中] 已知向量 $ a = (1,2) $，$ b = (-1,1) $，若 $ (ka + b) // (a - 2b) $，则实数 $ k = $(B)

A.$ -\frac{1}{3} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ -\frac{5}{2} $

答案： 7.B 【解析】由条件可得$k a + b = (k,2k) + (-1,1) = (k - 1,2k + 1)$,$a - 2b = (1,2) - (-2,2) = (3,0)$,由$(k a + b) // (a - 2b)$可得$(k - 1) × 0 - 3(2k + 1) = 0$,解得$k = -\frac{1}{2}$. 故选B.
规律方法 已知$a = (x_1,y_1)$,$b = (x_2,y_2)$,且$b \neq 0$.
(1)$a // b \Leftrightarrow a = \lambda b (\lambda \in \mathbb{R})$,这是几何运算,体现了向量$a$与向量$b$的长度及方向之间的关系.
(2)$a // b \Leftrightarrow x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$,这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“$\lambda$”,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当$x_2 y_2 \neq 0$时,$a // b \Leftrightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$,即若两个非零向量平行,则这两个向量的相应坐标成比例. 这种形式不易出现搭配错误.

8. [天津中学 2025 高一月考] 设 $ A,B,C,D $ 为平面内的四点，且 $ A(1,3) $，$ B(2,-2) $，$ C(4,1) $.
(1) 若 $ A,B,C,D $ 逆时针围成平行四边形 $ ABCD $，求点 $ D $ 的坐标；
(2) 设向量 $ a = \overrightarrow{AB} $，$ b = \overrightarrow{BC} $，若 $ ka - b $ 与 $ a + 3b $ 平行，求实数 $ k $ 的值.

答案： 8.【解】
(1)设$D(x,y)$,则$\overrightarrow{AB} = (1,-5)$,$\overrightarrow{DC} = (4 - x,1 - y)$,因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$,所以$\begin{cases} 1 = 4 - x, \\ -5 = 1 - y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 3, \\ y = 6. \end{cases}$所以点$D$的坐标为$(3,6)$.
(2)由题意得$a = \overrightarrow{AB} = (1,-5)$,$b = \overrightarrow{BC} = (2,3)$,则$k a - b = (k - 2,-5k - 3)$,$a + 3b = (7,4)$.因为$(k a - b) // (a + 3b)$,所以$4(k - 2) = 7(-5k - 3)$,解得$k = -\frac{1}{3}$

9. 平面上有 $ A(2,-1) $，$ B(1,4) $，$ D(4,-3) $ 三点，点 $ C $ 在直线 $ AB $ 上，且 $ \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} $，连接 $ DC $ 并延长至点 $ E $，使 $ |\overrightarrow{CE}| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{ED}| $，则点 $ E $ 的坐标为$\left( \frac{8}{3}, -7 \right)$.

答案： 9.$\left( \frac{8}{3}, -7 \right)$ 【解析】设$O$为坐标原点,$\because \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$,$\therefore \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})$,$\therefore \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (3,-6)$,$\therefore$点$C$的坐标为$(3,-6)$.又$\because |\overrightarrow{CE}| = \frac{1}{4} |\overrightarrow{ED}|$,且点$E$在$DC$的延长线上,$\therefore \overrightarrow{CE} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{ED}$.(向量相等法)设$E(x,y)$,则$(x - 3,y + 6) = -\frac{1}{4} (4 - x,-3 - y)$,$\begin{cases} x - 3 = -\frac{1}{4} (4 - x), \\ y + 6 = -\frac{1}{4} (-3 - y), \end{cases}$解得$\begin{cases} x = \frac{8}{3}, \\ y = -7, \end{cases}$
$\therefore$点$E$的坐标为$\left( \frac{8}{3}, -7 \right)$.
高中必刷题 数学
多种解法 (定比分点公式法)设$E(x,y)$.$\because \overrightarrow{CE} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{ED}$,$C(3,-6)$,$D(4,-3)$,则$x = \frac{3 + \left( -\frac{1}{4} \right) × 4}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3}$,$y = \frac{-6 + \left( -\frac{1}{4} \right) × (-3)}{1 - \frac{1}{4}} = -7$,$\therefore$点$E$的坐标为$\left( \frac{8}{3}, -7 \right)$.
易错警示 在将模的关系转换为向量之间的关系时,需要从方向角度加以分析,若不能确定则需分类讨论.