《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [湖北武汉 2024 高一期末]下列统计量中,都能度量样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的集中趋势的是 (B)

A.样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的标准差与极差
B.样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的中位数与平均数
C.样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的极差与众数
D.样本 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $ 的方差与平均数

答案： 1.B【解析】度量数据的集中趋势的是中位数、平均数、众数,度量数据的离散程度的是方差、标准差、极差,故选B.

2. 某校为了解高一学生一周课外阅读情况,随机抽取甲、乙两个班的学生,收集并整理他们一周的阅读时间(单位:h),绘制了频率分布直方图. 根据直方图,得到甲、乙两班学生一周阅读时间的平均数分别为 $ \overline{x}_{1},\overline{x}_{2} $,标准差分别为 $ s_{1},s_{2} $,则 (D)

甲班阅读时间频率分布直方图
乙班阅读时间频率分布直方图

A.$ \overline{x}_{1}＞\overline{x}_{2},s_{1}＞s_{2} $
B.$ \overline{x}_{1}＜\overline{x}_{2},s_{1}＜s_{2} $
C.$ \overline{x}_{1}=\overline{x}_{2},s_{1}＞s_{2} $
D.$ \overline{x}_{1}=\overline{x}_{2},s_{1}＜s_{2} $

答案： 2.D【解析】根据频率分布直方图可知$\bar{x}_{1}=1.5×0.1 + 2.5×0.2 + 3.5×0.4 + 4.5×0.2 + 5.5×0.1 = 3.5$,
$x_{2}=1.5×0.1 + 2.5×0.3 + 3.5×0.2 + 4.5×0.3 + 5.5×0.1 = 3.5$,
$s_{1}^{2}=(1.5 - 3.5)^{2}×0.1+(2.5 - 3.5)^{2}×0.2+(3.5 - 3.5)^{2}×0.4+(4.5 - 3.5)^{2}×0.2+(5.5 - 3.5)^{2}×0.1 = 1.2$,
$s_{2}^{2}=(1.5 - 3.5)^{2}×0.1+(2.5 - 3.5)^{2}×0.3+(3.5 - 3.5)^{2}×0.2+(4.5 - 3.5)^{2}×0.3+(5.5 - 3.5)^{2}×0.1 = 1.4$.所以$x_{1}=x_{2},s_{1}＜s_{2}$.故选D.

3. [重庆南开中学 2025 质量检测]在统计学中,为减少极端值对均值的影响,可采用切尾平均数来刻画数据的集中趋势,对于 $ n $ 个数据 $ x_{1},x_{2},·s,x_{n} $,且 $ x_{1}\leq x_{2}\leq·s\leq x_{n} $,称 $ \overline{x}_{a}=\frac{x_{[na]+1}+x_{[na]+2}+·s+x_{n-[na]}}{n - 2[na]} $ 为该组数据的切尾平均数,其中 $ n $ 表示数据的个数, $ a $ 为切尾系数, $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数. 在某次体操比赛中共有 9 名评委,其中有一位选手得分依次是 $ 9.01,9.02,9.20,9.25,9.27,9.28,9.30,9.58,9.65 $,则该选手的切尾平均数 $ \overline{x}_{\frac{1}{4}}= $ (B)

A.9.25
B.9.26
C.9.27
D.9.28

答案： 3.B【解析】由题意,$[na]=2,\therefore\frac{x_{1}}{4}= \frac{9.20 + 9.25 + 9.27 + 9.28 + 9.30}{9 - 4}=9.26$,故选B.

4. (多选)某人投掷骰子 5 次,由于记录遗失,只知这 5 次点数的平均数为 3 且方差不超过 1,则这 5 次点数中 (AC)

A.众数可为 3
B.中位数可为 2
C.极差可为 2
D.最大点数可为 5

答案： 4.AC【解析】对于A,如果5次都是3,满足题意,且众数为3,故A正确;
对于B,若中位数为2,则当方差最小且平均数为3时,点数为2,2,2,4,5,
则方差为$\frac{1}{5}×[(2 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(4 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}]=\frac{8}{5}＞1$,故B错误;
对于C,若点数为2,3,3,3,4,满足题意,且极差为2,故C正确;
对于D,若最大点数为5,则当方差最小且平均数为3时,点数为2,2,3,3,5,
则方差为$\frac{1}{5}×[(2 - 3)^{2}+(2 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(3 - 3)^{2}+(5 - 3)^{2}]=\frac{6}{5}＞1$,故D错误
故选AC.

5. (多选)[湖南长沙名校 2025 月考]随着城市化进程的加速,通勤时间的长短直接影响到城市居民的生活质量. 某调查研究机构随机采访了某地部分人群的通勤时长,共收到 1 000 份调查回复,将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图,则 (BD)


A.在参与调查的人群中,通勤时长超过 60 min 的人数为 100
B.估计该地居民通勤时长不超过 20 min 的人数约占 25%
C.估计该地居民通勤平均时长约为 35 min
D.估计该地居民通勤时长的中位数约为 30 min

答案： 5.BD【解析】由图可知,在参与调查的人群中,通勤时长超过60min的频率为$0.003×20×2 = 0.12$,则通勤时长超过60min的人数为$0.12×1000 = 120$,A错误;
由$20×(x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 + 0.003)=1$,得$x = 0.0125$.因为$0.0125×20 = 0.25$,所以该地通勤时长不超过20min的人数约占25%,B正确;
由$20×(0.0125×10 + 0.025×30 + 0.0065×50 + 0.003×70 + 0.003×90)=33.6$,估计该地居民通勤平均时长约为33.6min,C错误;
因为从左到右第1个小矩形的面积为0.25,第2个小矩形的面积为$0.025×20 = 0.5$,所以中位数在区间$[20,40)$内,设中位数为$m$,则$0.25+(m - 20)×0.025 = 0.5$,得$m = 30$,D正确.故选BD.

6. 某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出 400 人参加笔试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试. 现随机抽取了 24 名笔试者的成绩,统计结果如表所示.

据此估计允许参加面试的分数线是 80 .

答案： 6.80【解析】依题意,可参加面试的比例为$\frac{100}{400}=0.25$.由统计表知,样本中数据在$[80,90]$内的频率为$\frac{5 + 1}{24}=0.25$,由样本估计总体知,分数线大约为80,所以估计允许参加面试的分数线是80.

7. [浙江宁波九校 2025 联考]已知数据 $ x_{1},x_{2},x_{3},·s,x_{n} $ 的平均数为 3,方差为 1,则数据 $ 3x_{1}+1,3x_{2}+1,3x_{3}+1,·s,3x_{n}+1 $ 的平均数与方差的和为 19 .

答案： 7.19【解析】设数据$x_{1},x_{2},x_{3},·s,x_{n}$的平均数为$\bar{x}$,方差为$s^{2}$,
设$y_{i}=3x_{i}+1(i = 1,2,3,·s,n)$的平均数为$\bar{y}$,方差为$s_{1}^{2}$,
则有$\bar{y}=3\bar{x}+1 = 3×3 + 1 = 10$,
$s_{1}^{2}=9s^{2}=9×1 = 9$,
所以$\bar{y}+s_{1}^{2}=10 + 9 = 19$.