《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [江苏扬州 2025 高一期中]下列说法中正确的是(B)

A.圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C.用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

答案： 1.B　[解析]以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，以矩形的一条对角线所在直线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误;
　圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确;
　用一平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故C错误;通过圆台侧面上一点，只能作一条母线，故D错误故选B.

2. [福建莆田 2024 高一期中]以一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何结构是(A)

A.一个圆柱、两个圆锥
B.两个圆台、一个圆柱
C.一个圆台、两个圆锥
D.两个圆柱、一个圆台

答案： 2.A　[解析]因为等腰梯形上、下底边互相平行，两腰相等，所以以较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何结构是一个圆柱、两个圆锥，故选A.

3. [上海虹口区 2024 高一期中]下列说法中错误的序号是②。
①过圆柱的旋转轴的截面是矩形；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形。

答案： 3.②　[解析]对于①，根据圆柱的特征，可知①正确;
　对于②，圆锥的轴截面为等腰三角形，该三角形顶角的取值范围为(0,π)，若三角形的顶角不相等，则三角形的面积可能不相等，故②错误;
　对于③，根据圆台的特征，可知③正确;对于④，圆锥所有的轴截面都是等腰三角形，且腰长等于母线长，底长等于圆锥底面圆直径，故④正确
　故错误的说法为②.

4. 我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 4 尺。葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其含义为圆木长 3 丈 5 尺，圆周为 4 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长(注：1 丈约等于 10 尺)(A)

A.37 尺
B.39 尺
C.41 尺
D.43 尺

答案：
4.A　[解析]由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，AC即为葛藤的最短长度，一条直角边长(即圆木的高)为3×10+5=35(尺)，另一条直角边长为3×4=12(尺)，故葛藤的最短长度为$\sqrt{35^2+12^2}$=37(尺).故
　选A.

5. [山东济宁 2025 高一质量检测]已知圆锥底面半径为$\sqrt{2}$，侧面展开图是圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形，则此圆锥的母线长为3$\sqrt{2}$。

答案： 5.3$\sqrt{2}$　[解析]由圆锥底面半径为$\sqrt{2}$，侧面展开图是圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形，可设圆锥的母线长为l，则l=$\frac{2\pi × \sqrt{2}}{\frac{2\pi}{3}}=\frac{2\pi \sqrt{2}}{2\pi} × 3=3\sqrt{2}$.

6. 如图，某圆柱的一个轴截面是边长为 2 的正方形$ABCD$，点$E$在下底面圆周上，且$BC = 2BE$，点$F$在母线$AB$上，点$G$是线段$AC$上靠近点$A$的四等分点，则$EF + FG$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

答案：
6.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$　[解析]连接AE，将△ABE绕直线AB旋转到△PAB的位置，并且点P在BC的反向延长线上，连接PG，交AB于点F，此时EF+FG最小，最小值为PG，如图所示.
　因为AB=BC=2，所以∠ACB=∠PCG=$\frac{\pi}{4}$.又因为BC=2BE，所以BE=BP=1，又AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
　所以CG=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PC=PB+BC=3.在△PCG中，由余弦定理得PG²=PC²+CG²−2PC·CG·cos∠PCG=9+$\frac{9}{2}$−2×3×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{2}$，解得PG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即EF+FG的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

7. [陕西宝鸡 2024 高一期中]用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是(D)

A.长方体
B.圆锥
C.棱锥
D.圆台

答案：
7.D　[解析]对于A，如图①，用平面ACD₁截长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁，得到的截面是三角形，故A正确;
　对于B，如图②，用平面PAB截圆锥，得到的截面是三角形，故B正确;
　对于C，三棱锥各个面为三角形，除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C正确;
　对于D，圆台的截面不可能为三角形，故D 错误.故选D.

8. [天津南开中学 2025 高一期中]如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为(C)


A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{17}$

答案： 8.C　[解析]由题图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，且圆锥底面圆的半径r = 1.
　设扇形半径为R，则有$\frac{\pi}{2}$R = 2πr，解得R = 4，所以圆锥的母线长R = 4，
　故圆锥的高h = $\sqrt{R^2 - r^2}$ = $\sqrt{16 - 1}$ = $\sqrt{15}$
　故选C.

9. (多选)[福建泉州七中 2025 高一期中]已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为$r_1 = 1$，$r_2 = 2$，母线$AB$长为 2，点$E$为$AB$的中点，则(ABD)


A.圆台的高为$\sqrt{3}$
B.圆台的轴截面面积为$3\sqrt{3}$
C.圆台的侧面积为$18\pi$
D.在圆台的侧面上，从点$C$到点$E$的最短路径长为 5

答案：
9.ABD　[解析]对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形ABCD的高h = $\sqrt{2^2 - (2 - 1)^2}$ = $\sqrt{3}$，因此圆台的轴截面面积为$\frac{2 + 4}{2}$×$\sqrt{3}$ = 3$\sqrt{3}$，A、B正确.
　对于C，如图，延长BA，CD交于点F，则$\frac{FA}{FA + AB}$ = $\frac{r_1}{r_2}$ = $\frac{1}{2}$，解得FA = 2 ，
　如图，将圆台的侧面展开，设圆台的上、下底面所在扇形的圆心角为α，圆台的上底面周长为2π，下底面周长为4π，则α = $\frac{2\pi}{2}$ = π，故圆台侧面展开图是半圆环，则圆台的侧面积为$\frac{1}{2}$×4π×4 - $\frac{1}{2}$×2π×2 = 6π，C错误
　在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径的长度为线段CE的长度，
　由题意得，FB = FC = 4，AB = 2，由E为AB的中点，得FE = 3，
　所以CE = $\sqrt{CF^2 + FE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = 5，D正确.故选ABD.