《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [四川德阳 2025 高一期中]复数 $ z = \sin 2 + i\cos 2 $($ i $ 是虚数单位)在复平面内对应的点位于(D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 1 D 【解析】复数$z=\sin 2+i\cos 2$在复平面内对应的点为$Z(\sin 2, \cos 2)$，因为$\frac{\pi}{2}＜ 2＜\pi$，所以$\sin 2＞0, \cos 2＜0$，所以复数$z=\sin 2+i\cos 2$在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.
名师点拨 复数集C中的数与复平面内的每一个点存在着一一对应的关系，每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可判断出复数所对应的点的位置.

2. 在复数范围内($ i $ 为虚数单位)，下列命题中假命题的个数是(C)
① $ 2i ＞ i $；
②若 $ a + bi = 0(a,b \in \mathbf{C}) $，则 $ a = b = 0 $；
③若复数 $ z_1 = 2 + 3i $，$ z_2 = -1 + i $，$ \overline{z_1} $，$ \overline{z_2} $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \overrightarrow{OA} $，$ \overrightarrow{OB} $($ O $ 为坐标原点)，则 $ |\overrightarrow{AB}| = 5 $；
④若 $ z = \overline{z} $，则 $ z \in \mathbf{R} $.

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2 C 【解析】对于①，虚数不能比较大小，所以①为假命题；
对于②，因为$a, b\in \mathbf{C}$，例如$a=i, b=-1$，此时$a+bi=0$，所以②为假命题；
对于③，由复数$z_1 = 2 + 3i, z_2 = -1 + i$，可得$\overline{z_1} = 2 - 3i, \overline{z_2} = -1 - i$，可得$\overrightarrow{OZ_1} = (2, -3), \overrightarrow{OZ_2} = (-1, -1)$，所以$\overrightarrow{AB} = (-3, 2)$，则$\vert \overrightarrow{AB} \vert = \sqrt{13}$，所以③为假命题；
对于④，设$z = a + bi (a, b \in \mathbf{R})$，由$z = \overline{z}$，可得$a + bi = a - bi$，可得$b = 0$，所以$z \in \mathbf{R}$，所以④为真命题. 故选C.

3. [云南昭通三校 2025 高一联考]在复平面内，若在正方形 $ OABC $($ O $ 为原点)中 $ \overrightarrow{OA} $ 对应的复数为 $ -1 - 3i $，则 $ \overrightarrow{BC} $ 对应的复数为(C)

A.$ -1 + 3i $
B.$ 1 - 3i $
C.$ 1 + 3i $
D.$ 3 + i $

答案： 3 C 【解析】$\because$在正方形$OABC$中，$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$-1 - 3i$，$\therefore \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} = (-1, -3)$，则$\overrightarrow{BC} = (1, 3)$，$\therefore \overrightarrow{BC}$对应的复数为$1 + 3i$. 故选C.

4. (多选)[重庆巴蜀中学 2025 高一期末]设 $ z = (m + \sqrt{2}) + (m^2 - \sqrt{2}m - 4)i(m \in \mathbf{R}) $，则下列说法正确的是(ABD)

A.当 $ m = \sqrt{2} $ 时，$ |z| = 2\sqrt{6} $
B.当 $ m = 0 $ 时，$ z $ 的虚部是 $ -4 $
C.$ \exists m \in \mathbf{R} $，使 $ z $ 是纯虚数
D.$ \forall m \in \mathbf{R} $，$ z $ 在复平面内对应的点不位于第三象限

答案： 4 ABD 【解析】对于A：当$m = \sqrt{2}$时，$z = 2\sqrt{2} - 4i \Rightarrow \vert z \vert = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{6}$，故A正确；
对于B：当$m = 0$时，$z = \sqrt{2} - 4i$，虚部为$-4$，故B正确；
对于C：若$z$为纯虚数，则$\begin{cases} m + \sqrt{2} = 0, \\ m^2 - \sqrt{2}m - 4 \neq 0, \end{cases}$此时无解，故C错误；
对于D：若$z$在复平面内对应的点位于第三象限，则由$\begin{cases} m + \sqrt{2} ＜ 0, \\ m^2 - \sqrt{2}m - 4 ＜ 0 \end{cases}$
$\begin{cases} m ＜ -\sqrt{2}, \\ -\sqrt{2} ＜ m ＜ 2\sqrt{2}, \end{cases}$此时无解，故不存在$m$使$z$在复平面内对应的点位于第三象限，故D正确. 故选ABD.

5. (多选)[湖北武汉七校 2025 高一期中]欧拉公式 $ e^{xi} = \cos x + i\sin x(x \in \mathbf{R}) $ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列说法中正确的是(AD)

A.$ \frac{e^{xi}}{2} $ 的模为定值
B.$ e^{\pi i} $ 为纯虚数
C.$ e^{i} $ 在复平面内对应的点位于第二象限
D.$ e^{\frac{\pi}{3}i} $ 的共轭复数为 $ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $

答案： 5 AD 【解析】A选项，$\frac{e^{ix}}{2} = \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}i\sin x$，故$\frac{e^{ix}}{2}$的模为$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2\cos^2 x + \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2 x} = \frac{1}{2}$，A正确；
B选项，$e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1$，则$e^{i\pi}$为实数，B错误；
C选项，当$x = 1$时，$e^{i} = \cos 1 + i\sin 1$，故$e^{i}$在复平面内对应的点的坐标为$(\cos 1, \sin 1)$，又$\cos 1 ＞ 0, \sin 1 ＞ 0$，故点$(\cos 1, \sin 1)$不在第二象限，C错误；
D选项，$e^{\frac{\pi}{3}i} = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，其共轭复数为$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$，D正确. 故选AD.

6. [天津滨海新区 2025 高一期中]已知 $ i $ 为虚数单位，$ m \in \mathbf{R} $，复数 $ z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 - 4m + 3)i $.
（1）若 $ z $ 是实数，求 $ m $ 的值；
（2）若 $ z $ 是纯虚数，求 $ m $ 的值；
（3）若复数 $ z $ 与 $ 1 - 2i $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \boldsymbol{a} $，$ \boldsymbol{b} $，且 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为钝角，求 $ m $ 的取值范围.

答案： 6 【解】
(1)因为$z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 - 4m + 3)i$是实数，所以$m^2 - 4m + 3 = 0$，解得$m = 3$或$m = 1$.
(2)因为$z = (m^2 - 8m + 15) + (m^2 - 4m + 3)i$是纯虚数，所以$\begin{cases} m^2 - 8m + 15 = 0, \\ m^2 - 4m + 3 \neq 0, \end{cases}$解得$m = 5$.
(3)因为复数$z$与$1 - 2i$在复平面内对应的向量分别为$a, b$，所以$a = (m^2 - 8m + 15, m^2 - 4m + 3)$，$b = (1, -2)$. 又因为$a$与$b$的夹角为钝角，所以$m^2 - 8m + 15 - 2(m^2 - 4m + 3) ＜ 0$，且$m^2 - 4m + 3 \neq -2(m^2 - 8m + 15)$，
避坑：注意排除共线的情况
解得$m ＞ 3$或$m ＜ -3$，且$m \neq \frac{11}{3}$，
即$m$的取值范围为$(-\infty, -3) \cup \left(3, \frac{11}{3}\right) \cup \left(\frac{11}{3}, +\infty\right)$.

7. 四边形 $ ABCD $ 为复平面内的平行四边形，$ O $ 为坐标原点，向量 $ \overrightarrow{OA} $ 对应的复数为 $ 5 $，$ \overrightarrow{AB} $ 对应的复数为 $ -2 - 3i $，$ \overrightarrow{BC} $ 对应的复数为 $ -6 + 4i $.
（1）求点 $ D $ 对应的复数；
（2）判断 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点是否在同一个圆上，并证明你的结论.

答案： 7 【解】
(1)由题意知，$\overrightarrow{OA} = (5, 0)$，$\overrightarrow{AB} = (-2, -3)$，$\overrightarrow{BC} = (-6, 4)$.
$\because \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}$，且$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$，$\therefore \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} = (5, 0) + (-6, 4) = (-1, 4)$，
$\therefore D(-1, 4)$，则点$D$对应的复数为$-1 + 4i$.
(2)$A, B, C, D$四点在同一个圆上，证明如下：由
(1)可知，$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} = 0$，则$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$，即$AB \perp BC$.
$\therefore$平行四边形$ABCD$为矩形，$\therefore A, B, C, D$四点共圆.