《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [山东济南外国语学校 2025 月考]一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 $p_1,p_2,p_3,p_4$，且 $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$。设这组数据的平均数为 $\overline{x}$，中位数为 $m$。下列条件一定能使得 $\overline{x} ＞ m$ 的是(C)

A.$p_1:p_2:p_3:p_4 = 1:1:1:1$
B.$p_1:p_2:p_3:p_4 = 1:4:4:1$
C.$p_1:p_2:p_3:p_4 = 1:4:3:2$
D.$p_1:p_2:p_3:p_4 = 2:3:4:1$

答案： 1.C 【解析】设样本容量为$20n,n\in\mathbf{N}^*$.对于A，$\overline{x}=\frac{1×5n+2×5n+3×5n+4×5n}{20n}=\frac{5}{2}$，$m=\frac{5}{2}$，A不满足题意；
对于B，$\overline{x}=\frac{1×2n+2×8n+3×8n+4×2n}{20n}=\frac{5}{2}$，$m=\frac{5}{2}$，B不满足题意；
对于C，$\overline{x}=\frac{1×2n+2×8n+3×6n+4×4n}{20n}=\frac{13}{5}$，$m=\frac{5}{2}$，C满足题意；
对于D，$\overline{x}=\frac{1×4n+2×6n+3×8n+4×2n}{20n}=\frac{12}{5}$，$m=\frac{5}{2}$，D不满足题意.故选C.

2. [河北邢台 2025 高一联考]小明在整理一组数据 3，1，5，2，3，6，4，$x$，$y$ 时，不小心漏掉了 2 个数据，用 $x,y$ 代替。已知 $x,y$ 都是 1 到 6 中的一个整数(包含 1 和 6)，且这组数据的中位数和众数都是 3，则 $|x - y|$ 的值不可能是(D)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.D 【解析】不妨设$x\leq y$，
当$x=1,y=3$时，1,1,2,3,3,3,4,5,6，满足题意且$\vert x-y\vert=2$；
当$x=2,y=3$时，1,2,2,3,3,3,4,5,6，满足题意且$\vert x-y\vert=1$；
当$x=3,y=3$时，1,2,3,3,3,3,4,5,6，满足题意且$\vert x-y\vert=0$；
当$x=3,y=4$时，1,2,3,3,3,4,4,5,6，满足题意且$\vert x-y\vert=1$；
当$x=3,y=5$时，1,2,3,3,3,4,5,5,6，满足题意且$\vert x-y\vert=2$；
当$x=3,y=6$时，1,2,3,3,3,4,5,6,6，满足题意且$\vert x-y\vert=3$.故选D.
特别注意 计算中位数与百分位数时应该首先将数据按照从小到大的顺序排好.

3. (多选)[宁夏银川一中 2024 高一期末]某市 7 天国庆节假期间的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，则以下说法错误的是(AC)


A.成交量的中位数是 16 套
B.日成交量超过日平均成交量的有 1 天
C.认购量越大，则成交量就越大
D.认购量的第一四分位数是 100 套

答案： 3.AC 【解析】由题意可知，将日成交量的数据从小到大排序为8,13,16,26,32,38,166，故可得中位数为26套，可知A错误；
由题图中折线可知，日平均成交量=$\frac{1}{7}×(13+8+32+16+26+38+166)\approx43$（套），
所以日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B正确；
由题中折线图可知10月2日到10月3日认购量减少，但成交量增加，故C错误；
将日认购量的数据从小到大排列为91,100,105,107,112,223,276，
因为$25\%×7=1.75$，所以认购量的第一四分位数是100套，D正确.
故选AC.

4. (多选)[广东揭阳 2025 高一月考]某校组织 50 名学生参加庆祝中华人民共和国成立 75 周年知识竞赛，经统计这 50 名学生的成绩都在区间 $[50,100]$ 内，按分数分成 5 组：$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$，得到如图所示的频率分布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论

正

确

的是(ABC)


A.成绩在 $[80,90)$ 内的人数最多
B.成绩不低于 70 分的学生所占比例为 70%
C.50 名学生成绩的平均数小于中位数
D.50 名学生成绩的极差为 50

答案： 4.ABC 【解析】设$[70,80)$组的频率为$a$，则由各组频率之和为1可得$10×(0.01+0.02+0.03+0.02)+a=0.8+a=1$，解得$a=0.2$.故$[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]$各组频率依次为0.1,0.2,0.2,0.3,0.2.
对于A，$[80,90)$这一组频率最大，即成绩在$[80,90)$内的人数最多，故A正确；
对于B，成绩低于70分的学生频率为$0.1+0.2=0.3$，即不低于70分的学生频率为$1-0.3=0.7$，所以成绩不低于70分的学生所占比例为70%，故B正确；
对于C，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数约为$55×0.1+65×0.2+75×0.2+85×0.3+95×0.2=78$，
由$0.1+0.2+0.2=0.5$，知50名学生成绩的中位数约为80，所以50名学生成绩的平均数小于中位数，故C正确；
巧思：由单峰直方图在左边“拖尾”，可知平均数小于中位数
对于D，极差为数据中最大值与最小值的差，已知50名学生的成绩都在区间$[50,100]$内，但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，故极差小于等于50，但不一定等于50，故D错误.故选ABC.

5. [浙江宁波镇海中学 2025 高一期中]某地区政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量（单位：千瓦·时）标准 $x$：月用电量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费。为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了 100 位居民每人的月均用电量，将数据按照 $[0,100)$，$[100,200)$，$·s$，$[600,700]$ 分成 7 组，制成了如图所示的频率分布直方图。
(1)求频率分布直方图中 $a$ 的值，并计算样本的平均数；
(2)若该地区有 900 万居民，估计该地区居民月均用电量不低于 400 千瓦·时的人数；
(3)若该地区政府希望使 85%的居民每月的用电量不超过标准 $x$，估计 $x$ 的值。（结果保留整数）

答案： 5.【解】
(1)由频率之和为1，可得$(0.0005+0.001×3+0.002+0.003)×100=1$，
解得$a=0.0015$，
样本的平均数为$50×0.05+150×0.1+250×0.1+350×0.2+450×0.3+550×0.15+650×0.1=395$.
(2)由题图可得，月均用电量不低于400千瓦·时的频率为$0.3+0.15+0.1=0.55$，故该地区居民月均用电量不低于400千瓦·时的人数为$900×0.55=495$万.
(3)由题图可得，前5组的频率之和为$0.05+0.1×2+0.2+0.3=0.75$，
前6组的频率之和为$0.05+0.1×2+0.2+0.3+0.15=0.9$，
设第85百分位数为$x$，则$x\in[500,600)$，
故$0.75+(x-500)×0.0015=0.85$，
解得$x\approx567$（千瓦·时）.