《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

8. 某工厂的三个车间生产同一种产品,三个车间的产量分布如图所示,现在用按比例分配的分层随机抽样的方法从三个车间生产的该产品中,共抽取 70 件做使用寿命的测试,则 $ C $ 车间应抽取的件数为 21 ;若 $ A,B,C $ 三个车间产品的平均寿命(单位:小时)分别为 200,220,210,方差分别为 30,20,40,则总样本的方差为 89 .

答案： 8.2189【解析】由按比例分配的分层随机抽样的方法可得,C车间应抽取的件数为$70×30\% = 21$.
由题知总样本的平均数$\bar{x}=20\%×200 + 50\%×220 + 30\%×210 = 213$,
则总样本的方差$s^{2}=\frac{2}{10}×[30+(200 - 213)^{2}]+\frac{5}{10}×[20+(220 - 213)^{2}]+\frac{3}{10}×[40+(210 - 213)^{2}]=89$.

9. [湖北武汉 2025 高一期末]某高校体检随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位:cm)后,按照区间 $ [160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185] $ 分组,得到样本的身高频率分布直方图如图所示.
(1)求 $ x $ 和频率分布直方图中身高在 175 cm 及以下的学生人数.
(2)估计该校 100 名学生身高的下四分位数(结果保留整数).
(3)已知身高落在区间 $ [170,175) $ 内的样本平均数是 173,方差是 8,身高落在区间 $ [175,180) $ 内的样本平均数是 178,方差是 6,求两组样本成绩合并后的平均数 $ \overline{\omega} $ 和方差 $ s^{2} $.
参考公式:若总体划分为 2 层,通过按比例分配的分层随机抽样的方法,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 $ m,\overline{x},s_{1}^{2};n,\overline{y},s_{2}^{2} $. 记总的样本平均数为 $ \overline{\omega} $,样本方差为 $ s^{2} $,则 $ s^{2}=\frac{1}{m + n}·\{m[s_{1}^{2}+(\overline{x}-\overline{\omega})^{2}]+n[s_{2}^{2}+(\overline{y}-\overline{\omega})^{2}]\} $.

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答案： 9.【解】
(1)由频率分布直方图可知$5×(0.01 + 0.07 + x + 0.04 + 0.02)=1$,解得$x = 0.06$,身高在175cm及以下的学生人数为$100×5×(0.01 + 0.07 + 0.06)=70$.
(2)$[160,165)$内的人数占比为$5×0.01 = 5\%$,$[165,170)$内的人数占比为$5×0.07 = 35\%$,
所以该校100名学生身高的下四分位数(即25%分位数)落在$[165,170)$内,
设该校100名学生身高的25%分位数为$x$,则$0.05 + 0.07(x - 165)=0.25$,解得$x\approx168$,
故该校100名学生身高的下四分位数约为168cm.
(3)由频率分布直方图知,这100名学生中身高落在$[170,175)$内的有$0.06×5×100 = 30$(人),
身高落在$[175,180)$内的有$0.04×5×100 = 20$(人),所以$\omega=\frac{173×30 + 178×20}{30 + 20}=175$,
所以$s^{2}=\frac{1}{30 + 20}×[30×[8+(173 - 175)^{2}]+20×[6+(178 - 175)^{2}]] = 13.2$.

10. 某玻璃工艺品加工厂有 2 条生产线用于生产某款产品,每条生产线一天能生产 200 件该产品,该产品市场评级规定:评分在 10 分及以上的为 $ A $ 等品,低于 10 分的为 $ B $ 等品. 厂家将 $ A $ 等品售价定为 2 000 元/件,$ B $ 等品售价定为 1 200 元/件. 下面是检验员在现有生产线上随机抽取的 16 件产品的评分:

经计算得 $ \overline{x}=\frac{1}{16}\sum_{i = 1}^{16}x_{i}=9.98,s^{2}=\frac{1}{16}\sum_{i = 1}^{16}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\frac{1}{16}\sum_{i = 1}^{16}x_{i}^{2}-\overline{x}^{2}\approx0.0345 $,其中 $ x_{i} $ 为抽取的第 $ i $ 件产品的评分,$ i = 1,2,3,·s,16 $. 该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺,已知对一条生产线增加生产工序每年需花费 2 000 万元,改进后该条生产线产能不变,但生产出的每件产品评分均提高 0.05. 已知该厂现有一笔 2 000 万元的资金.
(1)若厂家用这 2 000 万元改进一条生产线,根据随机抽取的 16 件产品的评分,估计改进后该厂生产的所有产品的评分的平均数和方差.
(2)某金融机构向该厂推销一款年收益率为 8.2% 的理财产品. 请你利用所学知识分析,将这 2 000 万元用于购买该款理财产品所获得的收益,与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比,一年后哪种方案的收益更大. (一年按 365 天计算)

答案： 10.【解】
(1)设一条生产线改进前一天生产出的产品的评分为$y_{i}(i = 1,2,3,·s,200)$,改进后生产出的产品的评分为$z_{i}(i = 1,2,3,·s,200)$,其中$z_{i}=y_{i}+0.05$.
用样本估计总体可知$\bar{y}=9.98$,
所以$\bar{z}=\frac{1}{200}\sum_{i = 1}^{200}z_{i}=\frac{1}{200}\sum_{i = 1}^{200}(y_{i}+0.05)=\bar{y}+0.05 = 10.03$,
所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品的评分的平均数为$\frac{9.98×200 + 10.03×200}{400}=10.005$.
用样本估计总体可知$s_{y}^{2}\approx0.0345$,
所以$s_{z}^{2}=\frac{1}{200}\sum_{i = 1}^{200}(z_{i}-\bar{z})^{2}=\frac{1}{200}\sum_{i = 1}^{200}[(y_{i}+0.05)-(\bar{y}+0.05)]^{2}=s_{y}^{2}\approx0.0345$.
估计改进后该厂生产的所有产品的评分的方差为$\frac{1}{400}(\sum_{i = 1}^{200}y_{i}^{2}+\sum_{i = 1}^{200}z_{i}^{2})-10.005^{2}=\frac{1}{400}(\sum_{i = 1}^{200}y_{i}^{2}-200\bar{y}^{2}+200\bar{y}^{2}+\sum_{i = 1}^{200}z_{i}^{2}-200\bar{z}^{2}+200\bar{z}^{2})-10.005^{2}$,
因为$s_{y}^{2}=\frac{1}{200}\sum_{i = 1}^{200}y_{i}^{2}-\bar{y}^{2}$,
所以$\sum_{i = 1}^{200}y_{i}^{2}-200\bar{y}^{2}=200s_{y}^{2}$,
同理$\sum_{i = 1}^{200}z_{i}^{2}-200\bar{z}^{2}=200s_{z}^{2}$,
所以$(*)=\frac{s_{y}^{2}+s_{z}^{2}}{2}+\frac{\bar{y}^{2}+\bar{z}^{2}}{2}-10.005^{2}\approx0.0345+\frac{-0.025×(9.98 + 10.005)}{2}+\frac{0.025×(10.03 + 10.005)}{2}=0.0345 + 0.025^{2}=0.035125$.
(2)若将这2000万元用于改进一条生产线,16件产品中,改进后B等品升为A等品的有6件产品,所以因产品评分提高而增加的比例为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,
所以将这2000万元用于改进一条生产线,一年后因产品评分提高而增加的收益为$(2000 - 1200)×\frac{3}{8}×200×365 - 2000×10^{4}=190×10^{4}$(元);
将这2000万元购买该款理财产品,一年后的收益为$2000×10^{4}×8.2\% = 164×10^{4}$(元).
因为$190×10^{4}＞164×10^{4}$,
所以将这2000万元用于改进一条生产线一年后收益更大.