《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. [湖北武汉华中师大一中 2025 高一期末]如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列说法一定错误的是(A)

A.这组数据可能是对称的
B.数据中可能有异常值
C.数据中可能有极端大的值
D.数据中众数可能和中位数相同

答案： 1.A 【解析】中位数是一组数据从小到大排列，中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数表示一组数据的平均水平，如果一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据分布极不均匀，所以这组数据不对称，A错误；这一组数据的中位数比平均数小很多，说明其中可能有异常数据，且异常数据偏大，即可能有极端大的值，B,C正确；众数是出现次数最多的数，可能不止一个，故可能和中位数相同，D正确.故选A.

2. [重庆长寿区 2025 高一期末]有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 7 次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 10 9 8 8 6
乙：9 10 7 8 7 7 8
则下列判断正确的是(D)

A.甲射击的平均成绩比乙好
B.乙射击的平均成绩比甲好
C.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D.甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数

答案： 2.D 【解析】由题意得，甲射击的平均成绩为$\overline{x}_{甲}=\frac{7+8+10+9+8+8+6}{7}=8$，众数为8，中位数为8；乙射击的平均成绩为$\overline{x}_{乙}=\frac{9+10+7+8+7+7+8}{7}=8$，众数为7，中位数为8.
故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，故A,B错误；甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故C错误；甲射击的成绩的中位数等于乙射击的成绩的中位数，故D正确.故选D.
名师点拨 根据具体数据求众数、中位数、平均数的方法：
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.
(2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数.若个数是偶数，则取中间两个数据的平均数.
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.

3. [山东济宁 2025 高一期末]若数据 $x_1,x_2,x_3,·s,x_{10}$ 的平均数为 2，则数据 $2x_1 - 1,2x_2 - 1,2x_3 - 1,·s,2x_{10} - 1$ 的平均数为(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.C 【解析】若数据$x_1,x_2,x_3,·s,x_{10}$的平均数为2，则数据$2x_1-1,2x_2-1,2x_3-1,·s,2x_{10}-1$的平均数为$2×2-1=3$.故选C.

4. 有一组样本数据 $x_1,x_2,·s,x_n$，其样本平均数为 $\overline{x}$。现加入一个新数据 $x_{n + 1}$，且 $x_{n + 1} ＜ \overline{x}$，组成新的样本数据 $x_1,x_2,·s,x_n,x_{n + 1}$，与原样本数据相比，关于新的样本数据下列说法正确的是(C)
①平均数不变；②众数可能不变；③中位数变小；④第 20 百分位数可能变大。

A.①②
B.①③
C.②④
D.②③

答案： 4.C 【解析】因为$x_{n+1}＜\overline{x}$，所以新的样本数据平均数减小，①错误；
加入一个新数据$x_{n+1}$，则众数仍有可能为原数据的众数，②正确；
中位数也有可能不变，③错误；
若$x_{n+1}$大于原数据从小到大排列的第20百分位数，则在新样本数据中，因为样本数增加，所以第20百分位数可能后移，则新数据的第20百分位数可能变大，④正确.故选C.

5. [四川成都 2025 高二检测]将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计整理成如图所示的频率分布直方图，记本次模拟竞赛成绩的中位数为 $a$，则 $a =$(A)


A.$76\frac{2}{3}$
B.$76\frac{1}{3}$
C.75
D.$75\frac{2}{3}$

答案： 5.A 【解析】由题图可知$0.04+0.06+0.2+10m+0.24+0.16=1$，解得$m=0.03$，所以前3组的频率和为$0.04+0.06+0.2=0.3＜0.5$，前4组的频率和为$0.04+0.06+0.2+0.3=0.6＞0.5$，故$a$在第4组，且$a=70+\frac{0.5-0.3}{0.3}×10=76\frac{2}{3}$.故选A.

6. 教材变式[河北邯郸一中 2024 高一期末]某校举办了数学知识竞赛，并将 1000 名学生的竞赛成绩(满分 100 分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图(每组为左闭右开的区间)，则以下四个说法正确的个数为(D)

① $a$ 的值为 0.005；
②估计这组数据的众数为 75；
③估计这组数据的平均数为 71；
④估计成绩不低于 80 分的有 300 人。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 6.D 【解析】由频率分布直方图可知$10×(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1$，解得$a=0.005$，①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间$[70,80)$，用区间中点值表示众数，即众数为75，②正确；平均数为$0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71$，③正确；
成绩高于80分的频率为$(0.025+0.005)×10=0.3$，所以估计成绩不低于80分的有$1000×0.3=300$（人），④正确.综上，①②③④正确.故选D.
链接教材 本题是教材第207页探究的同类试题，根据频率分布直方图估计数字特征：
(1)众数：频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标.
(2)中位数：平分频率分布直方图中小矩形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.
(3)平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积与对应小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
(4)百分位数：第$p$百分位数是累积频率为p%处x的值.
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.

7. [广东揭阳 2024 高一月考]某医院急救中心随机抽取 20 位病人等待急诊的时间(单位：分)记录如表：

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 $\overline{x} =$9.5。

答案： 7.9.5 【解析】由题意得，$\overline{x}=\frac{1}{20}×(2.5×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+22.5×1)=9.5$.