《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. (多选)下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是 (ABD)

A.原图形中平行于 $ x $ 轴的线段，其对应线段平行于 $ x' $ 轴，长度不变
B.原图形中平行于 $ y $ 轴的线段，其对应线段平行于 $ y' $ 轴，长度变为原来的 $ \frac{1}{2} $
C.画与直角坐标系 $ xOy $ 对应的 $ x'O'y' $ 时， $ \angle x'O'y' $ 必须是 $ 45^{\circ} $
D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同

答案： 1.ABD　[解析]由直观图的斜二测画法的规则，可知A,B,D正确，C中∠x'O'y'可以是45°或135°，故C错误。故选ABD。
归纳总结斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”$\begin{cases} 坐标轴的夹角改变, \\ 与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半, \\ 图形改变. \end{cases}$
“三不变”$\begin{cases} 平行性不改变, \\ 与 x 轴、z 轴平行的线段的长度不改变, \\ 相对位置不改变. \end{cases}$

2. 教材变式 (多选) [山东菏泽 2025 高一期中]下列说法错误的有 (BCD)

A.平行四边形的直观图还是平行四边形
B.菱形的直观图还是菱形
C.梯形的直观图可能不是梯形
D.正三角形的直观图可能是等腰三角形

答案： 2.BCD　[解析]由斜二测画法的步骤可知原图中的平行关系在直观图中仍然平行，原图中平行线段长度的比例关系在直观图中保持不变。
A：平行四边形的直观图为平行四边形，A正确；
B：菱形的直观图应该是平行四边形，B错误；
C：梯形的直观图仍然是梯形，C错误；
D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成45°角，三边长度不相等，不是等腰三角形，D错误。故选BCD。
链接教材本题是由教材第111页习题8.2第1题改编的多选题，考查平面图形直观图的形状。解决该类问题要抓住斜二测画法画水平放置的平面几何图形时的变化量与不变量：
(1)不变的包括边角个数、平行关系、平行于x轴的线段长度、平行线段的长度比值；
(2)变化的包括不与x轴平行的线段的长度、大部分角度。

3. [江西景德镇一中 2025 高二期中]水平放置的 $ \triangle ABC $ 的直观图如图，其中 $ B'O' = C'O' = 1 $， $ A'O' = \frac{\sqrt{3}}{2} $，那么 $ \triangle ABC $ 是一个 (A)

A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形

答案： 3.A　[解析]由题图可知，在△ABC中，AO⊥BC。
∵A'O'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AO=$\sqrt{3}$。
∵B'O'=C'O'=1，
∴BC=2，
∴AB=AC=2，
∴△ABC为等边三角形。故选A。

4. 下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角绘制而成的是 (A)


A.
B.
C.
D.

答案： 4.A[解析]由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A正确。故选A。

5. 教材变式 某几何体的三视图如图：

(1) 判断该几何体是什么几何体？
(2) 画出该几何体的直观图.

答案：
5.[解]
(1)根据三视图，可知该几何体是一个正方体切掉两个四分之一圆柱后的几何体。
(2)画出该几何体的直观图如图所示。

链接教材本题是教材第112页第7题的同类型试题，考查由三视图还原几何体并作出直观图。高考不仅考查高中知识，初中知识也会考查，所以三视图的知识要复习。同时，三视图和直观图都是在二维平面绘制三维图形，其中三视图能更好地表示几何体的数据，而直观图能更好地展示几何体的整体形状，各有利弊。

6. [河北邢台 2025 高一期中]如图， $ \triangle ABC $ 用斜二测画法得到的水平放置的直观图为 $ \triangle A'B'C' $，已知 $ \triangle A'B'C' $ 是周长为 $ 6 $ 的正三角形，则 $ \triangle ABC $ 的面积是 (D)

A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ 4 $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{6} $

答案： 6.D　[解析]在△O'A'B'中，由正弦定理可得$\frac{O'A'}{\sin 60^{\circ}}=\frac{A'B'}{\sin 45^{\circ}}$，又因为△A'B'C'是周长为6的正三角形，所以A'B'=2，所以$O'A'=\frac{2× \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$，所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BC·OA=$\frac{1}{2}$B'C'·2O'A'=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{6}$=2$\sqrt{6}$。故选D。

7. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 $ OABC $ 的直观图为如图所示的直角梯形 $ O'A'B'C' $，其中梯形的上底长是下底长的 $ \frac{1}{2} $. 若原平面图形 $ OABC $ 的面积为 $ 3\sqrt{2} $，则 $ O'A' $ 的长为 (B)

A.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 7.B　[解析]画出原平面图形OABC，如图所示，其中OA=O'A'，B'C'=BC，故BC=$\frac{1}{2}$OA，OB=2O'B'=2$\sqrt{2}$O'A'=$2\sqrt{2}$OA。
→黑板：注意在直观图中，△O'A'B'为等腰直角三角形
设BC=x，则OA=2x，OB=4$\sqrt{2}$x，则四边形OABC的面积为$\frac{1}{2}$(BC+OA)·OB=6$\sqrt{2}$x²，故6$\sqrt{2}$x²=3$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(负值舍去)，故O'A'=2x=$\sqrt{2}$。故选B。
二级结论在平面图形中，原图形面积S原和直观图面积S直之间的关系为S直=$\frac{\sqrt{2}}{4}$S原，S原=2$\sqrt{2}$S直。