《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

1. 某公司对来应聘的人进行笔试,统计出200名应聘者的笔试成绩,整理得到下表:

注:第n组的累积频率指的是前n组的频率之和.
若公司计划150人进入面试,则估计参加面试的最低分数线为65.

答案： 1.65【解析】由第6组累积频率为1得，$2a + 0.3 = 1$，则$a = 0.35$。由$\frac{150}{200}=0.75$知，面试的最低分数线为笔试成绩从低到高排列的$25\%$分位数$m$，由题表知，笔试成绩在$[40,60)$与$[40,70)$的累积频率分别为$0.15,0.35$，故$\frac{m - 60}{70 - 60}=\frac{0.25 - 0.15}{0.35 - 0.15}$，解得$m = 65$，从而可估计参加面试的最低分数线为65。

2. 已知一组统计数据x₁,x₂,⋯,x_n的平均数为$\overline{x}$,方差为s²,则函数f(x)=$\sum_{i = 1}^{n}(x - x_i)^2$的最小值为ns².

答案： 2.$ns^2$【解析】由$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$，得$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i = 1}^{n}x_i+n\bar{x}^2)=\frac{1}{n}(\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2)\geqslant1$，故$f(x)=\sum_{i = 1}^{n}(x - x_i)^2$的最小值为$ns^2$。

3. 某网络公司为了提升服务质量,从会员库中随机抽取n名会员进行线上问卷调查,将会员的评分(满分10分)从低到高分为四个等级:
并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[7,8)内的会员人数为40.
(1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值.
(2)若该公司以抽取的样本为参考,每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估:
(i)若会员满意度评分的平均值$\overline{x}$低于8分,则需要提升公司产品的体验感,否则全力开发新产品.根据所学的统计知识,判断该公司应采用的运营策略,并说明理由.
(ii)记会员评分的样本标准差为s,试估计会员总体评分在区间[$\overline{x}-s$,$\overline{x}+s$)内的人数的百分比.
(参考数据:1.29²≈1.66,1.31²≈1.72,1.32²≈1.74,1.33²≈1.77)

答案： 3.【解】
(1)由频率分布直方图可知，评分在$[7,8)$内的频率$f = 1×0.20 = 0.2$，故样本容量$n=\frac{40}{0.2}=200$。由$(t + 0.06 + 0.10 + 0.20 + 6t + 0.36)×1 = 1$，得$t = 0.04$。
(2)各组评分的区间中点值分别为$4.5,5.5,6.5,7.5,8.5,9.5$。(i)会员满意度评分的平均值$\bar{x}=4.5×0.04+5.5×0.06+6.5×0.10+7.5×0.20+8.5×0.36+9.5×0.24=8$，故该公司应全力开发新产品。(ii)因为方差$s^2=(4.5 - \bar{x})^2×0.04+(5.5 - \bar{x})^2×0.06+(6.5 - \bar{x})^2×0.10+(7.5 - \bar{x})^2×0.20+(8.5 - \bar{x})^2×0.24+(9.5 - \bar{x})^2×0.24 = 1.77$，则$s\approx1.33$，故$\bar{x}-s\approx6.67,\bar{x}+s\approx9.33$。区间$[6,7)$内评分不小于$6.67$的频率$m$满足$\frac{7 - 6.67}{7 - 6}=\frac{m}{0.10}$，解得$m = 0.033$，区间$[9,10)$内评分小于$9.33$的频率$n$满足$\frac{9.33 - 9}{10 - 9}=\frac{n}{0.24}$，即$n = 0.0792$，所以样本在区间$[\bar{x}-s,\bar{x}+s)$内的频率为$m + 0.20 + 0.36 + n = 0.6722$，因此用样本估计总体知，会员总体评分在区间$[\bar{x}-s,\bar{x}+s)$内的人数的百分比约为$67.22\%$。